[칼럼] 기하 학습을 논함 - I

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안녕하세요, 저는 24학년도 6,9,11 수학(기하)에서 100점을 받은 약연이라고 합니다.  

이 글은 기하를 선택하신 분과, 선택을 고민하시는 분들을 위한 글로 

출제되는 문항의 스타일, 과목의 특수성, 학습 컨텐츠 등을 다뤄보려고 합니다.  :)

내용은 다음과 같습니다 :D

목차

0. 기하는 왜 기트남어가 되었는가

1. 공간지각능력이 있어야만 고인물이 될 수 있는가

2. 기하 변별 문항 살펴보기

3. 현장에서의 기하 시험지 운영

4. 기하 입문자를 위한 기하 학습법

5. 기하 컨텐츠를 논함

0. 기하는 왜 기트남어가 되었는가

때는 바야흐로 2022학년도 입시, 기존의 가/나형 체계가 붕괴되고 현재의 선택과목 체제로 전환되던 시기에 2020학년도 수능 이후로 출제되지 않던 "기하와 벡터" 라는 과목이 Ⅲ. 공간도형과 공간벡터 ->  Ⅲ. 공간도형과 공간좌표로 "공간벡터" 전체가 삭제된 "기하"로 부활하여 확률과 통계/미적분/기하 로 학생의 진로, 흥미에 따라 선택할 수 있는 과목이 되었습니다.

2022년 기하 서버 오픈 첫 해, 6월 모의고사와 9월 모의고사에서 적당한 난이도와 다른 선택과목과 크게 차이나지 않는 등급컷/표준점수로 당시 학교에서도 조금 특이하지만, 선택과 취향의 영역으로 존중받았었고 미적분에 어려움을 느낀 친구가 6월 모평 이후 기하로 선택과목 변경을 하는 등 지금보다는 열린 마음으로 바라볼 수 있는 과목이었습니다.

다만 2022년 11월, 선택과목 기하는 평이하게 출제되었던 6,9월 모의평가와 다르게 3점도 만만치 않은, 4점은 더 빡빡한 2022년 개정 이후 가장 매콤했던 시험지로 출제되었음에도 기하 표본을 구성하는 적은 인원수와 기하 선택자 특성상 기하덕후가 많고 공통은 비교적 약했던 표본이 많이 존재하여(현역때 제가 그랬었습니다,,) "어렵게 출제되었음에도 미적분과 표준점수/등급컷이 차이가 없었던" 일이 있었습니다. 이때 현장에서 26번부터 막힘을 경험, 기세가 꺾여 고득점에 실패하였거나, 매운 난이도에 비해 표준점수 이득이 없는 억울함을 맛본 수험생들은 점차 기하를 떠나고, 새로 유입될 예비수험생들은 수학 선택과목에서 [기하]라는 과목을 불안전성에 기인해 꺼리는 경향이 생겼습니다.  

이 시점 이후로 "기트남어"라는 조롱, 혹은 자조에 가까운 신조어가 생기고 공통 과목을 잘하던 기하 고득점자들의 이탈, 선택 인원수 급감으로 타 과목에 비해 상대적으로 불안정한 표본이 생성되어 23년도에서 약 4점 1문제 차이가 나는 표준점수 차이, 24학년도에는 약 4점 2문제 차이가 나는 특히 만점권에게는 대학 몇 급간이 바뀌는 치명적인 표준점수 차이를 겪으며 침체를 거듭해 왔었습니다...만! 

24학년도 09월 모의평가에서는 미적분과의 표준점수 역전, 고이고 나면 틀리지 않는다는 기하만의 강력한 이점이 부각되어 공통은 자신있지만 미적분이 약한 수험생들에겐 전략적 선택이 될 수 있는 여지를 보여주는 과목입니다.  

수능사(史)를 설명하는 이유는 다름이 아닌, 메이저 과목이 아닌 소수과목을 선택한다는 점이 가진 특성을 조금이나마 알고 계셨으면 하는 마음이며, 불확실성과 함께하지만 긍정적인 결말을 낼 수도 있을것이라는 가능성, 혹은 희망을 지니고 수험생활을 보내게 된다는 점을 알리고 싶었습니다.

1. 공간지각능력이 있어야만 고인물이 될 수 있는가 & 기하라는 과목에 대하여

결론부터 말하자면, 있으면 좋지만 부족하거나 없어도 지장이 없습니다.

다만 개정 이후 "기하"는 공간벡터가 제외됨으로 공간에서 일반적인 평면/직선을 다루지 못하기에 이전 "기하와 벡터"에서 괴랄한 공간에서의 기하 상황을 묻지 못하게 되었습니다. 

기존의 좌표화, 방정식, 외적 등 공간을 다루는 기법보다는 기본적인 삼수선 정리가 강조되고 겨냥/단면화로 3D를 2D로 바라보는 관점의 중요도가 올라가 공간에서 관찰은 할 수 있되, 계산과 기하 해석은 2D에서 실행하게 되는 문제들이 주를 이루게 되었습니다.

"기하"에서는 3차원에서 도형들이랑 노는 과목으로 생각할 수도 있는데, 사실 3차원은 껍데기이고 2차원 평면도형에서 노는 과목입니다.

기하 과목의 목차는 다음과 같습니다.

(출처 : 천재교육 _ 기하 )

28, 29, 30 4점 3문항은 I, II, III 단원 각각 한 문항씩 출제되며 3단원 공간도형과 공간좌표를 제외한 단원은 모두 평면도형을 다룹니다.

다만 24학년도 11월 28번 문항 (아래에서 소개하겠지만, 이차곡선 + 공간도형 융합 문항입니다), 24학년도 6월 30번(이차곡선 + 평면벡터 문항입니다.)처럼, 단원의 틀을 넘어 융합형 문항으로 출제되는 경우도 종종 존재합니다.

01단원 이차곡선은 수학I의 삼각함수 도형활용에서 보던 삼각형, 원, 사각형 등의 도형의 기하세팅을 확장하여 이차곡선을 얹은 느낌으로, 난이도가 공통 수1보다 쉬운 경우도, 시험지의 최종보스 급으로 어려운 경우도 존재하기도 하는 시험지에 따라 난이도 차이가 존재하는 단원입니다. 

02단원 평면벡터는 평면도형 (원/직선/삼각형/사각형) 세팅과 벡터 조건식을 결합하여 벡터 조건에서 도형 및 영역 구하기, 휩쓸고 지나간 영역 구하기, 평면벡터의 내적의 최대 최소, 사영곱으로 해석 등, 공통수학과 가장 거리감이 있다고도 느껴지는 낯설게 다가올 단원입니다.  다만, 이 역시 정해진 평면도형 or 조건식을 다루기에 자주보는 식조작/분해/해석 방법이 정해져 있어 고인물이 되고자 하면 진실로 고일 수 있는 단원입니다. 

03단원 공간도형과 공간좌표는 위에서 언급하였듯 공간벡터가 날라가고 난 후 3차원은 껍데기이고 2차원에서 평면도형과 노는 과목으로, 피타고라스 정리, 코사인 (사인) 법칙과 기본 기하 성질 (닮음, 합동, 각의 이등분선, 내접원 등등..)을 다루는 과목입니다.

03단원을 마스터하기 위해서는 필연적인 보조선을 스스로 긋는 연습과 이를 통한 보조선을 긋는 것에 대한 "자신감과 감각"을 기르는 것이 필요하며, N제/기출문항을 통한 실전 훈련이 생명인 단원입니다. 특히 03단원은 한장에 개념을 모두 담을 수 있을 정도로, 개념/스킬이 메인이 되는 단원이 아닌 적용능력과 순수 사고력으로 승부를 보는 정직한 단원입니다.

기하는 위 단원표를 보면 아실 수 있듯이 개념의 양이 적고, 문제 풀이에 있어 수2, 미적분 등에 비해 스킬이 강조되지 않습니다. (02단원 제외...) *(02단원은 고인물들에겐 당연하게 느껴지겠지만 문제를 읽고 당위적이라는 생각이 드는 식조작을 적용하는 것이 스킬로 해석될 수 있습니다..) 

곧 개념학습을 마친 이후, 보다 문제풀이 경험&기하 상황 분석 능력 함양이 핵심이 되는 실전적인 과목이라 할 수 있습니다.

2. 기하 변별 문항 살펴보기

각 단원별로 출제되는 대표 문항의 개요, 문항의 핵심 아이디어를 간략하게 소개해보겠습니다. 이에 따라 학습할 때 주목할 점을 추가로 알아봅시다.  :D

I. 이차곡선

1-1. 포물선

1-2. 타원

1-3. 쌍곡선

1-4. 이차곡선 추론

1-5. 이차곡선의 접선

1-1~1-3

22.11.28번, 포물선의 정의 요소와 평면도형 해석 (닮음, 혹은 Z자꼴 아이디어)를 이용하여 해결하는 문항으로, 이차곡선만 등장하는 경우도 있고, 아래처럼 원이나 닮음 삼각형 등 다른 기하 세팅이 추가되는 경우도 있습니다.

22.11.26 문항입니다, 이차곡선(타원)과 원이 결합된 기하 세팅으로 이차곡선의 정의요소와 결론부 넓이 조건을 결합해 사고하는것이 핵심이 되는 문항이었습니다.

1-1~1-3은 마치 수학1의 사인/코사인 법칙의 활용과 같이 순수하게 기하 상황을 분석하고 조건을 활용하는 것이 주가 되는 유형으로, 다만 수학1은 과목 특성상 사인/코사인 법칙을 무조건 (대부분) 꼭 한번은 사용하게 된다는 점이 있지만, 이차곡선은 피타고라스, 닮음, 삼각비 등으로 사인/코사인 법칙을 사용하지 않고 해결하는 문항도 출제됩니다.

1-4~1-5

(문제가 순해 보이지만, 현장에서 직관에 의지하지 않고 엄밀하게 풀기는 매우 까다로운 문항입니다.)

23.06.28입니다. 주어진 조건식에서 길이의 차가 일정함을 보아 x>0부분의 쌍곡선을 추출할 수 있고, 쌍곡선 방정식에서 초점이 일정할 때, 주축을 결정하는 a의 증감에 따른 직선과 쌍곡선의 위치관계를 묻는 문항입니다.

1-4~1-5는 기출문항이 많이 존재하기 않기에 주어진 기하 세팅에서 이차곡선을 유도하는 과정 and 접선의 방정식을 세울 줄 알고 이를 도형 상황과 연관지어 사고할 수 있는 능력을 묻는 유형입니다. 

1-1~1-3이 기하 해석이 메인이 되는 것과 다르게 이차곡선의 "방정식", 즉 수식 해석의 관점에서 접근하는 경우가 많습니다.

II. 평면벡터

2-1. 평면벡터의 연산

2--2. 평면벡터의 내적

2-3. 평면벡터 복합 (연산/내적의 최대/최소, 벡터 조건에서의 도형&영역 구하기, 휩쓸고 지나간 영역 추론 )

2-1

23.06.30입니다. 평면벡터의 내적을 묻지 않고 오로지 연산만을 이용하여 해결하는 문항으로,  주어진 벡터 조건식을 적절히 조작하여 동점 X의 자취를 추론하는 문항으로 2-3의 성질도 띄고 있습니다. 

2-2.

22.11.29입니다. 주어진 벡터 조건이 나타내는 영역 중 내적 조건을 만족하는 부분을 추출한 후, 확대/축소 변환을 거친 부분을  이용하여 연산의 최대 / 최소를 구하는 문항입니다. 

2-3.

19.11.29입니다. 자주 출제되지는 않지만, 반드시 알아가야하는 "휩쓸고 지나간 영역 구하기"유형입니다, 임의의 삼각형에 대해   주어진 

벡터 조건을 적절히 조작 후 만족하는 영역을 찾고, 이를 다시 평행이동으로 밀어보며 휩쓸고 지나간 영역을 추론합니다.

24.06.30입니다. 이전에 언급한 대로, 이차곡선+벡터, 이차곡선+공간도형 등으로 융합되어 출제되는 경우도 종종 보이기에 각 단원에 대한 명확한 이해를 기반으로 융합 문항에 각각의 성질을 뭉개지 않고 분리하여 사고할 수 있는 능력도 필요로 합니다.

III. 공간도형과 공간좌표

3-1. 공간도형 (삼수선, 이면각, 종이접기)

3-2. 공간좌표 & 구

3-3. 정사영

3-1.

 24.11.28입니다. 비주얼은 흉악하지만, 차근차근 2D로 겨냥하여 사고하면 생각보다 쉽게 해결할 수 있는 문항입니다. 이전 벡터 문항처럼 이차곡선+공간도형 등으로 짬뽕되어 출제되는 경우도 종종 보이기에 각 단원에 대한 명확한 이해를 기반으로 융합 문항에 각각의 성질을 뭉개지 않고 분리하여 사고할 수 있는 능력도 필요로 합니다.

3-2 + 3-3

22.11.30입니다. 구의 탈을 쓴 공간도형 문항으로, 개인적으로 개정 이후 공간도형 문항 중 가장 까다로운 문항이라고 생각합니다.

xy평면으로 겨냥한 구를 분석하여 두 동점의 위치를 확정한 후, 삼수선의 정리로 끼인각을 추출 & 정사영 시키는 문항입니다.

3-2.

구의 방정식을 묻고 있지만, 2차원으로 겨냥할 시 그저 원과 원의 공통접선 문항으로 변형할 수 있는 문항입니다. 위 문항보다 평면도형 해석 능력이 강조되는 문항이며 "구"에 가까운 문제풀이를 보여줍니다. 단원 내용 중 구의 "방정식"이기 존재하기에, 수식적 접근이 필요한 경우도 낮은 빈도로 존재합니다.

3. 현장에서의 기하 시험지 운영

기하는 미적분과 다르게, 문제풀이 특성상 풀이방향성만 잡으면 계산은 쓱싹 금방 끝난다는 장점이 독보적입니다! 다만 풀이방향성을 떠올리지 못하면 그대로 백지 상태가 되어버린다는 치명적인 단점이 있습니다. 그 예시로 22.11.28 (이차곡선 문제) 가 있어요.. 물론 고이고 나면, 확실히 공통 문항보다는 기하가 쉽게 느껴지는 경우가 많아, 확실히 투자를 하신다면 그만큼 얻어가실 수는 있는 과목입니다.

저는 현장에서 공통 1~14, 16~21을 풀고 (단, 막히는 문항이 있으면, 운영에 지장이 가기에 곧바로 패스합니다. )

기하 23~30을 해결하고 22 ->15로 해결하는 편입니다. 기하 23~30을 공통을 푼 뒤에 푸는 이유는 1교시 국어시간에 글자와 싸운 후 기하 세팅 관찰 & 사고가 날카롭지 않을 수도 있다는 점에서, 공통과목에서 이를 예열하고 기하에서 막힘없이 풀도록 운영하는 편입니다.

28, 29, 30의 난이도는 뒷 번호로 간다고 어려워지지 않고 미적분처럼 28번이 최종보스인 시험지도, 29번이 3점에 비슷한 난이도인 경우도 존재하기에 번호에 크게 구애되지 않고 곧바로 풀리지 않고 막히면 pass합니다.

기하+공통 고득점자 기준으로 공통 1-14,16-21을 40분~60분 정도, 기하 23~30을 15~20분정도*(22.11은 25분 업)로 해결할 수 있고, 남은 시간을 오로지 22, 15에 부을 수 있습니다.

기하는 과목 특성상 시간단축이 상당히 용이한데, 미적분은 풀이 방향을 잡아도 계산으로 변별하는 등 계산이 상당한 경우가 자주 있지만, 기하는 01단원 접선 or 방정식에서 수식 관점을 집요하게 요구하지 않는 한 풀이방향성만 잡으면 2D그림 속에서 계산은 쓱싹 금방 끝나는 경우가 대부분이기 때문입니다.

그렇기에 처음 공통 1~14, 16~21을 풀 때 11-14, 20-21의 준변별문항에서 시간단축을 할 수 있는 공통실력만 있다면 기하 선택자들은 시간을 남길 수 있는 여지가 충분합니다. 다만, 기하 문항에서 풀이방향성을 못잡겠다면.. 그 문항은 놓아주는 편이 운영에 유리하게 작용하는 경우가 많을것입니다. 빠르게 pass하고 돌아오시면 보이지 않던 <조건>이나 기하상황이 보이는 경우가 있기에, 집착하지 않고 pass하는 연습이 도움이 됩니다.

4. 기하 입문자를 위한 기하 학습법

현역일 때 저의 경험을 바탕으로 설명드리겠습니다! 재수종합학원 OR 단과에 등록한 수험생이라면(기하반이 존재한다면..ㅠ) 학원의 커리큘럼과 선생님을 따라가시고, 저는 독학을 하는 수험생의 입장에서 작성하겠습니다.

 [개념익히기 + 순한 난이도의 문항에 적용하는 훈련] (겨울방학 or 개강 전)

기하 과목의 개념양은 아마 3가지 선택과목 중 가장 적겠지만, 낯섦의 정도는 기존 공통수학에 비해 심한 편입니다. 저는 고등학교 2학년 기하 수업을 이수한 뒤 현우진 선생님의 "뉴런"과 "시냅스"를 수강하며, 수강한 단원에 해당하는 연습문항&시냅스를 강의에서 배운 내용을 적용해보며 최대한 답지를 활용하지 않고 해결해보았는데, 이 과정이 고통스럽지만 여기서 문제가 묻고자 하는 기하 상황에 대한 이해, 주목해야 하는 성질과 문풀에 핵심이 되는 부분을 추출해 낼 수 있는 능력이 길러지기에 파이널 기간이 아닌, 개념 학습 시기에 답지에 의존하게 되는것은 지양하는 편이 좋다고 생각합니다. 

+입문자 분들은 현우진 선생님의 [노베]강의는 반필수로 수강하시는 편이 좋습니다..! 기하 선택과목은 대부분 평면도형을 다루는 능력이 문풀속도를 결정하기에, 노베 외에도 평면도형을 연마하기 위한 좋은 강의가 있다면 함께 수강하시는 편이 권장됩니다.

+ PS. 뉴런과 시발점 중 어떤 교재로 입문할 지 궁금해하시는 분이 자주 계신데,  기하 과목 특성상 개념/스킬의 차이가 크지 않고, 다만 문항풀이에 적용하는 능력이 핵심이 되기에 본인이 "기하"를 고등학교에서 수강하지 않았거나, 수강한지 오래되어 기억이 가물가물한 경우, 뉴런의 실전 기출문항에 적용하기에는 까다롭다 느낄 수도 있기에, 시발점을 선택해볼만 합니다. 물론 둘 다 들으면 좋겠지만, 개인적인 생각으로는 완전 입문자 레벨이 아니라면, 기출 문제를 통한 실전 문항 학습이 병행되는 뉴런으로 입문하는것도 괜찮은 선택지가 된다고 생각합니다.  

[기출 문제를 통한 실전 문항 학습] (1~5월 + 개념익히기와 병행하여도 됨)

기하 과목은 기출 문제의 양이 적습니다. 심지어 공간벡터가 관련된 문항은 배제된 상태로 기출문제집이 출시되는 경우가 대부분이기에 더욱 적습니다. (수분감이 가장 저렴한 과목입니다) 다만 시중의 N제/모의고사는 이 문항들을 베이스로 변형&응용+심화하여 출제하며

문항을 출제하는 경우가 많고, 문항이 출제되는 스타일과 풀이 과정을 몸으로 익히는 중요한 과정입니다. 

여기서 가장 정말 중요한 점은 02, 03단원의 경우 특히 02 평면벡터는 "연습할 때 풀이를 한가지로만 하지 말라"라는 점입니다. 

잘 알려진 벡터 내적을 바라보는 관점/ 다루는 방법이 정해져 있고, 그 방법들중 여러가지가 한 문제에 모두 먹히는 경우가 많습니다.

예를 들어 원이 등장한 평면벡터 내적 문제가 있습니다.  문제에 따라  a.원의 중심을 경유하여 방향이 자유로운 벡터를 분리 b.내적의 기하적 의미 (사영곱)을 연상하여, 원을 직선 등으로 사영 c.중선분해를 이용해 벡터 일차결합을 해석 d.성분화 - 좌표관점 해석 등등.... 무궁무진하며, 이들 중 가장 유리할 풀이루트가 무엇인지 직접 몸으로 부딪히면서 빅데이터를 쌓아가야 추후 문풀 속도를 높일 수 있습니다.

저는 학습 과정에서 자주 본 형태가 아닌 낯선 기하상황이 등장했을땐 문제 밑에, 혹은 첨부한 이미지 처럼 노트에 기하 상황의 핵심만 추출해서 *많은 시간을 들이지 않도록* 정리하면 기억에 오래 남게 되더군요. 첨부한 이미지와 같은 노트를 월례/서바이벌/평가원 시험을 치기 전 예열용으로 읽는 편이었습니다.

저의 경우는 수분감을 뉴런과 테마 2개 정도의 시간차를 두고 학습하였고, 이후 N제&실모 시즌 초반에 자이스토리, 하반기에 양승진 선생님의 파이널 코드를 학습했었습니다. 

[N제 & 실전 모의고사를 통한 적합 학습] (5월~11월 중 *단, 기출 문제를 통한 실전 문항 학습에 구멍이 없어야 하며, 구멍이 보일 때는 언제라도 그 부분을 다시 공부해봅시다. )

기하는 컨텐츠가 적지만, 대신 우수한 퀄리티의 문항들이 많습니다. 

아래 "컨텐츠를 논함"에서 보다 자세히 설명하겠지만, 시대인재/강남대성/메가스터디의 컨텐츠들을 위주로 구할 수 있는 문항들을 구하는 대로 풀어보시면 됩니다. 저는 N제로 현우진 선생님의 드릴...을 곧바로 풀었는데 너무 어려웠었고, 지금 질문을 받아도 까다롭다고 느껴지는 문항들이 꽤 실려있기에 드릴은 실력이 어느 정도 올라온 후반부에 푸시는걸 추천드립니다..

여기서 TIP인데, 기하는 N제보다는 실전 모의고사에 존재하는 문항들이 현실적인 난이도와 퀄리티 측면에서 우수한 경우가 많습니다. 공통 과목 훈련을 병행하고 싶거나, 시간적 여유가 있다면 과년도 실모의 모든 문항을, 기하만 중점적으로 학습하시길 원하신다면 과년도 모의고사의 기하 선택 부분만이라도 충분히 구해 풀어보시는 것이 좋습니다.  

5. 기하 컨텐츠를 논함

-교사관 기출 

시중의 N제/모의고사는 이 문항들을 베이스로 변형&응용+심화하여 출제하며

문항을 출제하는 경우가 많고, 퀄리티 높고 참신한 문항이 다수 존재합니다. 

N제&아카이브

-설맞이 아카이브

시중에서 구할 수 있는 N제 중 가장 마음에 든 교재입니다. 적절한 난이도와 낯섦과 익숙함의 경계에 놓인 우수한 문항들이 가득하며, 배울 점이 많은 문제집입니다. 

-드릴 1,2,3권 _ 시중에서 구할 수 있는 N제 중 정제된 문항들이 많아 만족했습니다, 난이도가 수능을 넘는 문항들도 고민하고 해결하면 큰 도움이 되지만, 이걸 초반에 풀면 상당히 힘들겁니다.. 실력이 어느 정도 오른 후 풀면 효과가 좋습니다.

-CRUX/강대N제 (2023)

정해진 유형별로 반복 연습할 수 있는 점이 장점이지만, 강대 N제의 경우 풀이의 핵심 아이디어가 계속 반복되어 공장에서 찍어낸.. 듯한 느낌을 받으실 수도 있습니다..만 구할 수 있다면 풀어보는것도 매우 좋습니다.

-SHORTCUT

기출을 본 후 공부할 교재로 제일 추천해주고 싶은 책입니다. (몇 문항 제외하면,,,)평이한 난이도지만, 미출제요소와 기존 문제풀이에 핵심이 되는 아이디어와 풀이전개를 적용하는 훈련에 안성맞춤인 교재입니다.

-수능특강/수능완성

과년도를 다 풀기보다는 올해 수능 대비만 풀어도 괜찮습니다. (수특 수완 밖에 우수한 문항들이 더 많습니다.) 실전에서 EBS에서 다룬 내용이 상당히 치명적으로 작용한 문항이 기출된 바 있기에 (24.09.29) 참신한 아이디어나 기하 세팅은 정리해두면 좋습니다. 

실모 *시험지 전반이 아닌, [기하] 선택과목 부분만을 기준으로 작성하였습니다.*

-23 강대K

기하가 매콤합니다, 상당한 난이도의 공간도형과 구 문항이 존재하며 고민하며 해결해볼 가치가 충분한 우수한 문항들이 다수 실려있습니다. 03단원 공간도형과 공간좌표 심화/연마를 하기에 적합한 시험지입니다. 

-24 서바이벌

킬러문항 배제의 영향을 받은 해라, 기하에서 상당하게 까다로운 변별 문항보다는 적절한 고른 난이도의 28~30을 맛볼 수 있는 시험지입니다. 가끔 미출제요소를 다루기는 하나, 주로 기존 기출의 틀 안에서 적절히 응용&변형한 문항들이 주를 이루기에 평이한 난이도의 실전 모의고사입니다. 

-24 브릿지

시험지에 2문항이 실려있고 시험지에 따라 trivial 하다고 느껴질 수 있는 문제들도, 혹은 뛰어난 퀄리티의 문항이 실린 경우도 있습니다. 풀어볼 수 있다면 매우 좋지만, 위 시험지들에 비해 우선순위는 "상대적으로" 낮은 편입니다.  

-설맞이 모의고사

전체적으로 밸런스가 잘 맞춰저 있고, 미출제요소와 독특한 세팅이 자주 보이는 완성도 높은 시험지입니다. 

공통 문항도 매우 우수하기에 하반기 실전 훈련시 full set를 권장드립니다. 기하만 훈련하고 싶으시다면, N제의 "설맞이 아카이브 기하"를 이용하시는 방법도 괜찮습니다. 

-히든카이스 모의고사

실전 운영 중 계산 과정에 불편함을 주거나, 관찰에 까다로움을 주는 등 실전에서 복잡한 문항을 만났을 때를 대비하는 훈련을 하기에 좋습니다.  

-QUEL 모의고사 

개인적으로 잘 맞고, 큰 도움이 되었으며 특히 기하가 정말 빼어난 시험지입니다. 온라인 S버전 전회차는 항상 풀어보았고 현장 H 회차도 구할 수 있다면 구해서 풀어보면 정말 좋습니다. 지금은 남아있는지 모르겠지만, 메가스터디에서 ReQuel이라고 과년도 모의고사를 한권으로 모아 저렴하게 판매하기도 하였기에 기하부분이라도 꼭 풀어보셨으면 합니다.

-킬링캠프

정제되고 엄선된 느낌의 문항들로 28,29,30이 채워져 있고 틀에 고정되기 보다는 가끔 변주를 주어 학습할 가치가 높은 문항들이 존재합니다. 

*아래는 저의 23학년도 ~ 25학년도 교/사관 시험과 평가원 모의고사 기하 해설입니다. 기하학습에 도움이 되시길 바라는 마음에 첨부합니다 :)

25.09 평가원 https://orbi.kr/00069113290

25.사관학교 https://orbi.kr/00068826272

25.07 교육청 https://orbi.kr/00068702709

25.06 평가원 https://orbi.kr/00068292944

25.05 교육청 https://orbi.kr/00068027961

25.03 교육청 https://orbi.kr/00067709471

22.11.28 이차곡선 https://orbi.kr/00066964501

23.10 교육청 https://orbi.kr/00064712801

23.09 평가원 https://orbi.kr/00064315557

23.07 교육청 https://orbi.kr/00063723000

23.06 평가원 https://orbi.kr/00063203453

22.09.29 종이접기 https://orbi.kr/00063076497

23.05 교육청 https://orbi.kr/00062938554

23.03 교육청 https://orbi.kr/00062497692

 준비한 글은 여기까지입니다, 궁금증이 해결되셨기를 바라며, 혹시 더 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요  :D

긴 글 읽어주셔서 감사드려요.  :)