7月 기하 28, 29, 30 Solution

공통 영역에서는 변별 문항으로는 잘 이용되지 않던 소재들 (22번 곱의 연속성)과 예전에 출제되었던 기출 아이디어들 (12번 동일 모형 그래프 적분)등 낯섦과 익숙함이 공존하는 바람직한? 시험지었습니다.

선택과목에 주목할 필요가 있습니다. 29번은 전형적이지만 28번 30번은 기출의 대칭성 아이디어를 차용해 해결할 수 있거나, 혹은 교과외 공간벡터가 유리하게 작용하는 문제입니다. 이번 28번, 30번 풀이는 해설지와 다르게 배워갈 점이 있으시리라 생각하기에 자세히 해설해보도록 하겠습니다.   

이제 문제를 보시겠습니다.   :)

28. 이차곡선의 대칭성, 이차곡선의 정의요소, 기하 해석

사실 이 문항이 기하 시험지를 운영하는데 기세를 꺾거나 살리는 치명적인 문제였다고 생각합니다.

저도 시간을 재고 풀면서, 처음에 바로 보이지 않아 패스했던 문항입니다.

남은 문제를 해결한 후 돌아와서, 90"에 주목, 이차곡선의 대칭성을 연상하며 FS"을 FR을 대칭해 그렸더니 너무나 친숙한 문제로 바뀌었습니다.

2018 학년도 수능에서 선배님들의 멘탈을 터뜨린 3점 이차곡선 문제, 이 역시 F'Q를 대칭한 선 하나를 그리는것이 알파이자 오메가였습니다. 역시 위 28번 문항은 아래 27번과 같은 세팅인데, 원을 숨겨둔 것입니다!

1. 이차곡선의 대칭성 -> FS"작도 

2. 한 정점에서 떨어진 거리가 같은 세 점 -> 원의 결정조건

3. 원 밖에서 그은 접선과 접점들 -> 합동 삼각형 제조기 (길이 이동 틀)

원의 반지름을  r, F'S=l이라 정의하면 원 밖에서 그은 접선들이 이루는 삼각형은 합동이기에, F'S=F'S"=l, PS=PR=r 이 되고, 

이차곡선의 대칭성에 의해 F'S"의 길이는 FR과 같으므로, FP의 길이를 주변 길이를 이용해 표현할 수 있습니다.

4. 이차곡선의 정의 이용하기 -> r=a를 얻습니다.

5. 주어진 기하관계에 주목하기 -> 닮음 삼각형 QSA, QPF에서 삼각비를 추출합니다. l=3/2 a를 얻습니다.

6. 이차곡선의 초점 정의 이용 -> 직각삼각형 F'FP 에서 피타고라스를 사용하면 구하는 값을 얻을 수 있습니다. 

29. 벡터 방정식, 벡터의 자취가 나타내는 도형, 성분화

1. [조건 뜯기] : 내적이 0 -> 원의 등장 조건, y단위벡터와의 내적이 양수 -> P의 y좌표는 양수인 부분만 살려두기

2. 벡터 식조작 -> P가 궁금하니, 우변을 P에 대해 정리하기 -> QP = (1,0) 평행이동 관계를 얻습니다.

3. 그림 작도하기 -> QA = Q가 놓인 원의 반지름 = 2이니, Q가 놓인 반원의 중심을 X라 하면, 삼각형 XAQ는 이등변 삼각형입니다.

4. 명확한 수직의 틀 -> 성분화의 당위성 -> Q, P의 좌표를 구하고 내적하면 결론부를 얻을 수 있습니다.

30. 공간벡터, 성분화, 법선과 방향벡터가 이루는 각

 문제의 30번인데.. 물론 정석적으로 끼인 평면을 작도해도 좋지만, 명확한 수직의 틀이 모두 주어졌고 결론부 또한 이루는 각이기에 공간벡터를 이용함이 유리한 세팅입니다.... 평가원에서도 공간벡터가 유용하게 쓰일 수 있는 문제를 통합 이후에도 출제한 바가 있기에.. (22.09.29) 조심스럽지만, 공간벡터를 다루는 방법정도는 이번 기회에 알아가도 괜찮지 않을까 하는 생각이 듭니다..!

1. 좌표축 세팅 -> X, Y, Z 축 잡기, 점들을 공간좌표로 표현하기

2. 수직조건 <=> 벡터의 내적이 0 으로 연산하기 -> h=10을 얻습니다.

3. 평면과 직선이 이루는 코사인 값 <=> 평면의 법선벡터와 직선의 방향벡터가 이루는 사인 값을 이용합니다. *이때 벡터의 방향만이 중요하므로, 벡터의 스케일은 계산하기 편하도록 조절할 수 있어요!  :)

총평으로 기하에서 묵직함을 준 28번은 객관식이자 4점의 시작이지만 28 29 30중 가장 까다로웠고, 기출학습이 위기상황을 극복하는데 강력한 역할을 함을 알 수 있었습니다. (대칭성을 연상 못하면 해설지처럼 합동 찾으러 가야 합니다..)

30번은 이전에 언급했듯이, 공간벡터를 이용할 수 있는 22.09.29가 떠오르는데 이 역시 정석적인 풀이와 함께 공간벡터 사용법을 알아두면 역시 좋은 풀이를 구사할 수 있습니다.

오늘 하루 모두들 수고하셨어요 ;D