칼럼10) 소소한 테크닉
나름 알려진 편이고, 은근히 유용하며 개념적으로도 의미가 있는 '소소한' 테크닉 하나를 소개해드릴까 합니다.
이미 알고계신 것도 있을 거고, 아마 처음보는 것도 있을거에요!
이는 e^x의 재밌는 특징에서 시작됩니다.
y=e^x는 도함수가 e^x이죠. 원함수와 도함수가 식이 같다는 겁니다. 즉, 원함수의 함숫값이 그 점에서의 미분계수인 셈이죠. x=a에서 함숫값은 e^a, 미분계수도 e^a일겁니다.
기울기가 e^a라는 것은, x축으로 1 이동할 때 y축으로 e^a만큼 이동한다는 뜻이죠. 그런데 마침 이 지수함수 위의 점(a,e^a)는 함숫값이 e^a네요.
여기서 다음 사실을 알아낼 수 있습니다.
e^x 위에 점 (a, e^a)에서의 접선은 x절편이 a-1이겠네요!
이걸 뒤집어서 말하면, (b,0)에서 y=e^x로 접선을 그으면 접점은 x좌표가 b+1인 곳에서 생긴다는 겁니다. 기울기는 e^(b+1)이 되는 것이구요.
y=e^x 뿐만 아니라 얘가 평행이동되었을 때도 마찬가지입니다. 그 함수의 점근선 위의 점에서 접선을 날렸을 때 접점은 x좌표가 1 큰 곳에서 생깁니다.
아래 문제에 적용해보겠습니다.
기출 문항입니다. 이미 다들 잘 알고 계실 것 같습니다.
최대인 순간은 바로 나오지 않아서 계산을 좀 해줘야 하지만, 최소인 순간은 분명하죠. 기울기인 양수 a가 최대인 순간과 y절편인 음수 b가 최소인 순간이 일치하는데, 다음과 같이 양쪽에 동시에 접할 때입니다.
(그림 출처: ebs)
일단 대칭에 의해 x절편이 3/2인 걸 캐치한 상황에서, 접한다는 정보를 이용해 a를 구해야 합니다. 이때 앞서 알려드린 소소한 테크닉을 이용해볼게요. 그림에서 표시된 t가 3/2보다 1만큼 큰 5/2겠죠. x=5/2일 때 f(x)의 함숫값은 루트 e입니다. 따라서 이 순간에 a는 루트e네요.
물론 s를 이용해서 구하셔도 됩니다. s의 경우에는 x좌표가 1/2이 되겠죠. g(1/2)= -루트e니까 기울기는 루트e여야겠지요. (g(x)는 아래로 그려진 상황이니까 -부호를 빼줘야 합니다.)
어찌됐건 직선을 이렇게 완성할 수 있겠습니다. 훨씬 간편하죠!
평행이동뿐만 아니라 확대축소됐을 때에도 이런 정보를 뽑아낼 수 있습니다.
이 함수의 경우에는 x축 위에 (a,0)에서 접선을 날렸을 때, 그보다 x좌표가 1/5만큼 큰
이 점에서 접점이 생기겠죠. 함수가 5배 축소되었으니 앞서 말씀드린 1차이난다는 경향성도 5배 축소하여 1/5이 되었다고 생각하시면 되겠습니다. 주의할 점이 있다면, 이때는 미분계수도 5배를 해줘야 하겠네요. 그래서 식을
다음과 같이 써낼 수 있습니다. 근데 이건 실수 가능성도 있어보이니(???: 아 ㅆ 5배 안했다) 이건 검토용으로 사용하시면 좋을 것 같습니다.
이 특징은 y= lnx 에서도 당연히 읽어낼 수 있겠죠. 대신 1 차이 난다는게 x축이 아니라 y축의 얘기로 바뀝니다.
e의 x승 놈을 뒤집은 거로 봐도 괜찮고, lnx의 도함수가 1/x이란 것에 착안하여 기울기 해석을 하셔도 됩니다. (기울기가 1/m라는 것은, x축으로 m 증가할 때 y축으로 1 증가한다는 뜻!)
한편, 다음과 같은 의문이 드실 수 있습니다. "왜 하필 e^x에서만?"
적절한 의문이죠. 사실 이 얘기는 모든 지수함수에 대해 가능합니다.
얘도 원함수와 도함수가 상수배 차이나는 꼴이므로 다음 정보를 이끌어낼 수 있습니다.
a=e일 때는 저 차이가 1이 되었던 거죠.
준비한 내용은 여기까지입니다. 원함수와 도함수가 관계되어있다는 지수함수의 성질을 이용한 재밌는 해석이었다고 생각합니다. 앞으로도 재밌는 칼럼과 자작문제 많이 보여드리겠습니다. 유익했다면 좋아요 부탁드리고, 팔로우 해두셔서 꼭 확인해보세요!
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
김젬마 이미지 주예지 원정의T와 함께라면 가능하다
-
구리 던전 5개 돌았고 던전 하나 당 3개씩 털었는데 철퇴 재료 안 나오는 거 보면...
-
쓰는 거 나온적 있음?
-
프로그래밍 물리학 실험 빅데이터 분석 공학일반 인공지능기초 뭘 듣는 게...
-
안녕 9
그냥 나갈거면 조용히 나가면 안되냐는 놈들은 조까라 하셈 그리고 어차피 네임드도...
-
제목 그대로 인데요.. 올해 6모 85점(확통)이고 지금까지 푼 N제들 정리하자면...
-
연애기원 25일차 16
-
읍면리 학생들 1일 먼저 신청하고 나면 인기과목은 다 마감인데 대체 다들 어떻게...
-
물복/딱복 논쟁 12
-
이거 느낌이 수지가 부른 연세여 사랑한다 처음 볼 때 느낀 느낌임...
-
기출문제와 쉬운 난이도의 사설(어삼쉬사, 땅우N-1 등등) 그리고 교육청 문제들까지...
-
아니면 과목별로 하나씩 도장깨기?
-
이거 왜케 어려움요 11
단순해 보이지만 갈피를 못잡겠는 문제네요
-
Ladies and Gentlemen, My name is Ryan from...
-
낼부터 다시 빡세게 달려보자
-
7덮 지구 0
이번엔 조용히 넘어가나 싶었는데 지구 이넘이 기어코 사고치네. 4덮 수학 5덮 국어...
-
햇사레도 좋은데 강원도 쪽 복숭아 한번 드셔보세요 요즘에 장호원 일교차가 그리 크지...
-
수학풀다보면 10
시간이훌쩍가잇네 탑툰이랑 투믹스만 보구자야겟다
-
ㅇㅇ
-
수2 4규 2
다 푸는데 얼마정도 걸리나요?
-
물론 그분이 먼저 말 놓아도 괜찮을까요 라고 물어보셨고 제가 동의는 했지만 완전...
-
수특나오기 전에 문제 만들어서 그런가
-
동생 꺼 몇개 풀어보눈데 왤케 막히냐
-
영어 수특 듣기 실전모 1회 13~17번 (이하 중학 10일완성) 강의...
-
현역 국어 0
국어 모고는 항상 1 언저리로 나오는 현역입니다 (3모: 기억안남, 5모: 100,...
-
5 1 1 1 1 10
국어 5 표점100 수학 1컷 표점 130 근데이제 탐구가 투투에 표점 100...
-
아 국어수학에 계속 우선순위가 밀려서 너무 안하는 것같아서 불안하네요 ㅠㅠ
-
징징거리는 글이 많았는데 지금은 컨텐츠는 많아졌는데 화학 하는사람이 없네 다시 돌아와주라
-
선선할 때 하면 좀 좋을까 예쪽아..
-
흑인 되고 싶다 4
영혼은 블랙
-
응? 약자같은데
-
생2는 역대 커로 지2는 천체 다맞고 앞단원 암기 까먹어서 틀림ㅋㅋ 다시...
-
다때려쳐 2
ㅇㅇ 하...
-
궁금쓰…
-
표점이 어떨지
-
올해도 고려대 문과여도 과탐 변표가 사탐보다 훨씬 높게 잡히려나요... 그래도...
-
수탐만 풀까
-
뉴런 들으니까 확실히 ㄱㅊ네요, 기출은 따로 풀어보려 하는데 기출 말고 괜찮은 문제집 있나요?
-
에휴.....나 혼자 조용히 오답이나 해야지 뭐...ㅠ
-
부적 2
-
부적 감사합니다 2
가보자잇
-
5명 봤는데 5명 다 존예였음..
-
내가 많이 쓰는 건가 궁금함뇨
-
얼마나 부자인건가요…
-
한 번에 살 계획중인데 좋았던 거 적고 가주세요 탐구는 물지 입니다
-
여러분들도 오해(원 안들어가요)받는다고
-
방학때 과탐,수학정도는 완벽하게 끝내고 싶어요 관리형 독서실 오전 8:30~ 다음날...
오늘도 개ㅊ를 벅벅
오우쉣
ㄷㄷ
무슨 말인지 이해 못하는 문돌이들 개추 ㅋㅋㅋ
무민귀여워요
으악 미적이다
으악악
아니 ㅅㅂ 이게 뭐지.,?