근의 분리 상위호환
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
재종 또 지각함 0
진지하게 올해 20번정도 늦을듯 담임쌤한테 너무 죄송하네
-
집에서 기차역까지 10분 기차타고 30분 기차역에서 학원까지 지하철 10분+도보...
-
산 밑까지 내려온 어두운 숲에 몰이꾼의 날카로운 소리는 들려오고, 쫓기는 사슴이 눈...
-
유기마렵다
-
선생님들 언매 독서 문학 각각 몇분정도 걸리셨나요??
-
맛있군 0
야미
-
스포내용이 소재/제목 간접적으로 있을수도있읍니다. 각별히주의하십시오! 난이도는...
-
또 출근 ㅠㅠ 1
출근 시져시져 ㅠㅠ
-
이매진 시간컷 0
비문학지문 가 나 지문말고는 거의다 6분 안이던데 이안에 풀수있는거맞나요?? 8분좀...
-
고민..
-
커피한잔의 여유 2
-
아침답게 차 끓여마시기
-
ㅇㅂㄱ 1일차 1
김동욱 센세가 6시에 깨어나래서 알람 맞추고 일어나는중 빨리좀 자라, 제자야!
-
ㅇㅂㄱ 0
ㅎㄷㄹ
-
일어나니 점심때 1
너무 충격적인데요 도심에 그런 구덩이가 있다는 것도 충격이고 예전에 잠시나마 말을...
-
6모 3~4등급 학생한테 지금 필요한 수업이 어떤것일까요 4
실전개념을 한번 쭉 정리해주자니 좀 늦은 느낌이고.. 그렇다고 다 아는건 아닌거...
-
굉장하군 근데 의과대학 캠퍼스가 따로 떨어진곳이 많아서 만날사람있는거 아닌이상...
-
6평미적 30번 파이수렴 정확히 증명하는거 보여줄사람.. 4
샌드위치로 해줄 수학황 구함... 혼자하려니 안되네
-
대기대순환 문제보면 웬만한건 저는 아예 순환세포하는 지구그림을 통째로 그려야지...
-
불편해서 강제 얼버기ㅋㅋ
-
할 수 있다
-
D70 5
-
콰이어트플레이스 보러감
-
더 큰 열매를 맺을 순 있었지만 이미 충분히 잘 사셨었겠구나 물론 뱃지로도 보이지만...
-
얼버기 0456 2
-
95분 풀고 오답 성실히 하면 허수도 실모 풀어도 되는거 아니냐구
-
D-141, 수능 영어의 마지막 골든타임..작정하고 영어 성적 올릴 학생만 신청하세요. (Feat. 내영프 5기 모집) 0
안녕하세요 여러분! 정민티입니다. 이번 6모 영어의 극악한 난이도로 인하여 영어...
-
아직안자는사람 18
얼마나잇나
-
4시군 7
4시군
-
모두를…
-
빌런즈 앱스키마 커리 계속 따라가면서 국어 김승리로 공부하는 재수생 토리인디...
-
이 지문은 나름 개념 간 관계가 명확해서 문제 만드는게 편했어 하이라이트는 말할...
-
24수능 미적3틀 2등급이고 수능 공부 이제 시작하려고 합니다 제가 얼추 생각했을때...
-
나도 내년엔 4
대학생활 즐기고싶어
-
이상하군 6
왜 수면제 복용하면 자꾸 뻘글이 마렵지 이걸로 실수한적 한두번이 아닌데 그냥...
-
자퇴하고 정시 도전해보려고 하는 08이야 자퇴하려는 이유는 1. 메디컬 가고...
-
혹시 영단어 외우다가 모르는 단어 모아놔서 이 단어들로 지문 만들어줘 이런거...
-
잘 안 고쳐짐
-
풀어봤는데 징쨔네
-
진짜 멋있고 재능있고 착한 분이셨는데... 부디 고통없이 가셨기를 죽는줄도 모르게 가셨기를...
-
만들어야...
-
컨트롤 키 하나만 많이 써서 부서졌는데 하나만 구매 못하나요? 구글링해도 저런걸...
-
현강올거같은디
-
6모 해강 ㅋㅋ
-
https://orbi.kr/00059165995/%EB%94%94%EB%8D%95%...
-
러셀 0
러셀 9모 재원생 신청 언제까지임?
-
이과고 9모 중경외시 성적에서 그해 수능 의대 vs 문과고 9모 한양대~중경외시...
-
밖에 개춥네 5
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다