미분가능과 도함수연속성
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
-
흠
-
백분위 78 영어 2등급이면 어디가나요? ㅜㅜㅜ진짜 수능 조져서 반수각인데 하
-
국어 문제집 2
고등 국어 체급키우기 좋은 문제집 추천좀요
-
거리를 걸어보고 향기로운 칵테일에 취해도 보고~
-
ㅈㄱㄴ 친구가 말하던데
-
토익 part5 문법에서 개념 공부하고 문제 품->다 틀림 수능 짬으로 대충 이거일...
-
열심히 하는 애들이랑만 친해지다보니 어쩔 수 없나...
-
쿠팡이라도 뛸까 0
흠
-
수학, 영어 망쳤어요 ㅜㅜ 예측 서비스 돌리고 있지만 이 불안함은 무엇인지.
-
김장겸 "시국선언 교수들, 진보좌파 정권 때는 항상 꿀 드시더니" 10
[데일리안 = 박상우 기자] 이 교수님들은 문재인 정권 당시 탈원전, 소주성,...
-
그이와의 댓글 게시글 함께했던 추억을 생각하는중 사랑에 빠진듯 . 진짜임뇨
-
황금올리브, 치즈볼, 생맥까지 무한ㄷㄷ 부천에 있다네요
-
미적 2컷 1
진짜 모르겠다
-
공부할겸 운동한다고 생각하면 재밌는듯. 알바 끝나면 뿌듯한 느낌도 없지않아 있음...
-
생투분들 3
염기조성 코돈이 일년 더한다고 늘까요??
-
꾸준히 해야 덜 힘듦... 한달 쉬었다 하려니 ㄹㅇ 힘드러
-
돈모아애해
-
풋살화 추천좀요 3
헿
-
오르비 안봐! 8
열등감만 생김뇨
-
INFJ찾아요 30
, 1위는 엔팁 인프제로 알고있음
-
헤어졌나보노 ㅋㅋㅋㅋ
-
라인이 어디까지 잡힐지 감이 잘 안잡히네요 ㅠㅠ 서성한 공대는 가능할까요?
-
..
-
3모 목표 21112 인데 국어가 문제임 생명 유전병은 버림 어떱니까 그리고 ㅈ반고...
-
근데 국어91이랑92랑 선택과목 점수같은데 표점도 같을 수도 있나요?? 8
이런걸 잘 모름
-
어제와 오늘 모두 오르비에 3번밖에 방문하지 않았군요.. 반성합니다
-
631 이런식으로
-
표점 1점차 날 수도 있나??어쩌면 그리됨?
-
-
배굽프뇨 6
저메추부탁뇨
-
“리얼러브”한다는 유병재...9살연하 여친 ‘입맞춤’으로 화답? 2
방송인 유병재(36)의 연인으로 알려진 인플루언서 이유정(27)이 SNS에 올린...
-
https://imnews.imbc.com/news/2024/society/artic...
-
왤케 잘 고장나는거냐거......... 앞으로는 24유기하고 25민트 써야겠다......
-
다리아파 뒤질것 같아요 ㅠ...
-
지금시점에 수학 1
뭐하는 것이 좋을지 추천 부탁드릴 수 있을까요? 지구런할거라 수학은 매일...
-
진짜 고민인데 0
과기원 지유디 다 붙을것 같은데 어디가냐
-
두달 반동안 0
수1,2 시발점+뉴런 ㄱㄴ? 수상하개념 낫벳 >> 1학년모고 고정 88-92
-
내놔
-
디카프 2
11기 신청하시는 분 있음?
-
물리 질문점여 7
장력이 일을할때 중력퍼텐셜은 감소하는데 왜 더해주나요?
-
39 제발 2컷 걸리길
-
나는 올해도 작년만큼이나 힘들고 오래걸리던데 내 지능의 문제인지 슬슬 궁금해짐 진짜 화작해야되나
-
피하면 되겠지?
-
그냥 햄부거나 먹어야지 17
.
-
가끔 눈팅하고 질문 올리는 사람인데요, 읽다보니 대충은 짐작은 가는데 정확히 이해가...
-
맞팔9 3
-
잇나여 폰 너무 해서 현타왓는데 ㅋㅋㅋ 시계 잇으면 안불편함까
-
??
-
배고파 오늘 아직 암것도 안 먹음 ㅠㅠ
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=