미분에 대하여
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점
를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점
를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는
의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
슬슬 찾아봐야 할거같은데 너무 어려운건 아직 좀 그렇고 적당한 난이도 + 분량으로...
-
개좋음..걍 요새 사나이 감성 노래가 좋음ㅋㅋㅋ
-
44434 6
6모성적인데 여기서 사탐으로 바꾼다음 올1컷하면 기적인가요?
-
작년 말부터 좋아하게 된 친구가 있었습니다. 이 친구가 키도 큰 편이고, 성격도...
-
자 방갑습니다 8
다들 잘 지내고 계신가요
-
둘이 만나면…?
-
물리는 XX다 14
난 XX를 하고있다
-
6모 미적 4등급이라 확통런이 맞는거 같아서 오늘 확통개념강의 첨 들어봤는데 너무...
-
하늘도 우릴 축복하잖아~~
-
수학은 문제 푸는 방법 이런거 봐도 감을 못잡겠네.. 수학도 일관된 뭔가가 있나?
-
새르비는 화력이 옛날보다 약해진건가요
-
한 2시 3시까지 공부하고 5시쯤 자서 11시에 일어나는 뭐 이런분들…
-
나도 최면 걸릴래
-
육사 신청했는데 오늘 담임쌤이 불러서 개꼽주심 복도에서;; 자기한테 신청하는거 얘기...
-
동테 프사랑 너무 찰떡이라 놀랐어 사실 테인줄도 모르고있었어 프사 색 맞춤으로...
-
1트만에 풀었으면 ㄹㅇ 고능아 아닌가.......
-
확통이 필수였음.. 물론 기벡 좋아하는 나로서는 기벡있던 그 시절을 경험해보고는...
-
옥상 닫혀있어서 6
깜짝놀랐네 올라올사람 나밖에 없는데 개무서웠음 ㅠ
-
난 뒤돌아서서 세상을 바라볼게
-
다른 분들은 6개월 공부해서 1~2가신분들도 많던데 전 왜 이렇게 머리가 멍청해서...
-
언제부터 n제 실모 이런거 푸셨나요..?ㅠ 고2인데 벌써부터 하는 사람들 보여서...
-
현역 34223 재수 25222 언매 확통 정법 사문 현재는 지거국 상경이고 올해...
-
고1 때 4등급 고 2 때 국어 2등급 고3 때 평가원 백분위 95-97 줄곧...
-
무얼 위해 사는걸까
-
냉면 개땡긴다 26
사실 오늘도 먹긴했는데 먹방보니까 또 먹고싶네
-
너무 늦음..? 6모 84점이에요
-
처리속도나 기억쪽 백분위 48-52정도였는데 백분위 70만 됐으면 얼마나 좋을까 싶음
-
정병호 샘이 세상에서 젤 좋음. 그냥 수학을 가장 수학답게 가르치는 분 같음. 올해...
-
얼리버드 1
캐치스 더 웜. 그럼 일찍 일어난 벌레는 먹히는건가
-
아오 씌발 졸려 3
걍 냅다 드랍하고 싶댜
-
신김치대신 겉절이달라고 지랄하는거 구경함
-
대인라 10
대성학원에서 인라인타기
-
. 0
몬가 우울 공허 블루 모드
-
계속 귀찮게 해서 잡기 시작했는데 왤케 많아
-
그중에서 콘서타 드시는 분들 겪으시는 adhd증상이 뭐뭐 있나요?
-
저는 바보입니다 10
저는 밥오입니다
-
20렙을찍자 3
그리고맞팔을하자
-
똥싸는중 2
어으 시원하노
-
2206 2209 2211 국어 원점수 평균 82, 표준편차 0
-
미적런할걸 2
작수 공통 3점 제외 공1 선1틀 올6 공1 선2틀 실모 간간이 풀어봐도 대부분...
-
15대15 1
엄대엄
-
여붕이한테 말걸고시퍼 10
우우 여붕아
-
사실 분모가 2차고 테일러급수 4차까지는 외우고 있어서 그냥 따로 수렴시켰는데...
-
그때 생각보다 백분위 괜찮게 나왔었음 응 한지문 버릴거야
-
썸타기 5
썸내리기
-
나만 길가에 있는 고딩 키큰남자 일진무리들 보면 눈1깔고 지나가냐?? 23
ㅅㅂ 오늘 스카 끝나고 나 혼자 집가고 있었는데 한 4명 키 큰 고딩들이 쌍욕하면서...
-
이 문단의 마지막 문장 (데넷이 합리성을 최상의~)이 무슨뜻일까요? 데넷이 진화의...
-
제발… 답지 잃어버려서 채점을 못하고있음;