신기한 수학적 대상들 (ft. 프리드버그 선형대수학)
1. 다항식의 나눗셈 정리 (division algorithm for polynomials)
자연수 n과 음이 아닌 정수 m이 있다.
n차 다항식 f(x)와 m차 다항식 g(x)에 대하여
다음을 만족하는 다항식 q(x)와 r(x)가 유일하게 존재한다.
이때 r(x)의 차수는 m보다 작다.
--> 이것을 통해 수학(상) (22개정부터는 공통수학1) 에서 다루는
다항식의 나눗셈 결과가 유일함을 확인할 수 있습니다.
수능까지 도달했다가 고1 과외를 위해 복습해보신 분들은
한 번쯤 '이 결과가 유일한가'라는 질문을 스스로에게
던져보지 않으셨을까 생각해봅니다. 저는 그랬습니다.
2. 다항식의 인수분해의 유일성
차수가 자연수인 임의의 다항식 f(x)에 대하여
다음을 만족하는 유일한 상수 c, 서로 다른 유일한
기약(irreducible, 차수가 자연수이고 어떤 체의 원소를 계수로 가지며,
자연수 차수를 가지는 다항식의 곱으로 표현되지 않는 성질) 모닉(monic,
최고차항의 계수가 1인 다항식. 일차식) 다항식
, 유일한 자연수
가 존재한다.
--> 이것을 통해 마찬가지로 다항식을 인수분해한 결과가
유일함을 확인하고 넘어갈 수 있습니다.
3. 복소수에 관한 이야기
- 복소평면은 우리가 일반적으로 사용하는 직교좌표계에서와 마찬가지로
두 축으로 구성된다. x축 자리에 실수축, y축 자리에 허수축이 위치하곤 한다.
따라서 어떤 복소수의 실수부, 허수부는 각각 복소평면에 대응되는 벡터의
종점의 x좌표, y좌표가 된다.
- 복소수는 복소평면의 벡터로 생각할 수 있다.
- 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈에 대응한다.
- 복소수의 곱셈 결과에 해당하는 벡터는 각 벡터(복소수)가
실수축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 모두 더한 크기의 각을 지닌다.
- 이외에 아래의 식을 확인하라!
이때 e^(i@)는 복소평면에서 크기가 1이고
실수축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 @인 벡터이다.
즉, 단위벡터이다.
따라서 모든 복소수를 다음과 같이 이해할 수 있다.
--> 고등학교 1학년 교육과정 밖의 내용이 조금 섞여있지만
이를 이해함으로써 복소수에 대한 보다 넓은 시야를 갖출 수 있습니다.
4. 대수학의 기본 정리
먼저 미적분학의 기본 정리(the fundamental theorem of calculus)는 다음과 같다.
FTC1:
FTC2:
비슷한 이름인 대수학의 기본 정리(the fundamental theorem of algebra)는
다음과 같다.
복소수체 C에 대한 벡터공간 P의 다항식
--> 이를 통해 복소수 범위에서 모든 다항식은
식의 값이 0이 되도록 하는 독립변수값이 존재함을 알 수 있습니다.
보통 고등학교 수학에서는 실수 범위에서 이야기를 이어가기에
차수가 홀수인 다항식은 사잇값 정리(the intermediate value theorem)를 통해
근의 존재성을 직관적으로 확인할 수 있는 데에서 그치지만,
대수학의 기본 정리를 확인함으로써 복소수 차원에서 다항식은
항상 해를 갖는다는 사실을 보다 명확히 인식할 수 있겠습니다.
5. 체, 벡터공간, 다항식에 대하여
먼저 체의 정의는 다음과 같습니다.
그리고 벡터공간의 정의는 다음과 같습니다.
이에 따른 다항식의 정의가 다음과 같습니다.
--> 이를 통해 수학(상)에서 다항식을 공부할 때
다항식의 무엇이냐라는 정의에 대한 질문에 보다
체계적으로 답할 수 있을 것이라 생각합니다.
이전에 위키백과에서 확인한 바로는
f(x)=0의 경우 차수를 정의하지 않거나 -무한대로 정의한다고
확인했던 기억이 있는데 프리드버그 선형대수학 교재에서는
-1차로 정의하고 있네요!
p.s. 수학을 공부하다 보면 A를 설명하기 위해 B가 필요한데
B를 설명하기 위해서는 A가 필요한 그러한 상황을
맞이할 수 있다고 느꼈습니다. 물론 배움이 부족하여 그렇게
느끼는 것일테지만 이러한 상황에서 수학적 대상이라는 표현이
도움이 될 수 있다는 생각이 들었습니다.
물론 수학적 대상이라는 것도 인간이 언어를 발명하고
수학과 대상이라는 단어의 의미를 정의한 후에
비로소 의미를 지니게 된 표현이겠지만...
인간은 내가 직접 감각하는 것들 외에는
어떠한 개념의 유래, 발생 과정 등에 대해
확신을 갖지 못할 때가 있지 않습니까?
어느 정도는 이해하지 못했다는 느낌을 안고 넘어가는 것도
학습을 이어가는 데에 도움이 될 수 있지 않을까 하는 생각을 해봅니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
내신기간이라 학교가 빨리 끝나는바람에 아마 내일 받을거같은데 미적 공통 4틀 선택...
-
그거 쓰면 물리 점수 내려감 ㅇㅇ
-
맞팔 하실 분... 16
-
전전글에 성적 있습니다 6모 41422 혹시 지방에 살지만 강대 별관 가는게...
-
제발 아니라고해줘
-
3시간이 지났는데 왜 1시간밖에 안줄었지? 이럴수가 내 관측자는 빛의 속도로 움직이고 있나
-
뻘글임 5
뻘글
-
27수능 대비로 0
사문 + @ 탐구 고민하러 내가 본 23수능 탐구 풀봤는데 일잔사회는 난이도가......
-
뉴런 제외하고 정적분 좋은 강의 추천 좀 부탁드려요 (자기가 경험한거 토대로 간략히...
-
수학 백분위 73->91 많이올린겨?(그렇다고해줘)
-
지구과학 태풍 풍속 구하는 문제 나올 가능성 없죠? 5
이런 문제가 있었구나...
-
저보다 국어 이만배 잘하시는 대정수 Goat
-
이정도로 상승곡선으로 좋게 평가 받을 수 있을까요?
-
예전에는 뿌링클 좋아했는데 너무 많이 먹어서 요즘에는 잘 안 먹게 되더라...
-
대치러셀을 벅벅할까
-
텔레그노시스 돌려보는데 공대가 퍼센트가 잘 안뜨네요...
-
학원 끝났다 18
사실 두시간전에 끝낫는데 자습햇음... 밥 맛잇어서 더다녀야할듯..
-
서울에서 공부하고 싶은 꿈이 있었는데 제 능력이 부족했을 뿐이에요,,
-
김현우선생님 수업 들어보고 싶은데요 파이널때 들어도 무리 없을까요 ㅠ?
-
시대 수학 우리 관 제일 낮은반 평균이 6평 1컷이던데
-
뭔가 아련하면서 잔잔한데 신나는
-
근데 고피자가 문을 닫았군 내 다이어트를 돕는구나
-
교대 탈출이 목표지만 문득 새삼 나름 뿌듯하네요
-
강대엑스 히카 등등 엔제는 커넥션,피지컬 푼상황 실모풀면서 약한파트 엔제단원을...
-
실모 추천 0
제목 그대로… 이감 상상 바탕 중에 어떤 거 추천하시나요??? 물론 다 풀어본다면...
-
생명 질문 0
백호t 커리타고있는데 일단 섬계완 스계완 다했고 개념형 모고 다 했고 지금 상크스랑...
-
국어에서 옳지 않은 것을 골라야하는데 1~3번까진 옳지 않은 것을 찾다가 갑자기...
-
한지 vs 생명 3
2학년 1학기 마치고 이제 반수시작함 현역때 생명 3이었고 올해 사문 한지로 튀려고...
-
이게 맞나 2
ㅅㅂ
-
18로 시작해서 36으로 이틀째 복용중인데 안졸린거 빼고는 별 효과가 없어요 글을...
-
실수 노트로 정리할 수 있는 수준이 아님 애초에 머릿속으로 동시에 3가지 이상의...
-
대치역, 도곡역에서 고려대역(안암역)을 가기 위해서는 3호선에서 6호선으로 환승할...
-
서성한 문과 vs 그 아래 이과 고르라면 어디감?
-
여기 계신분들 성적표 인증보고 실수분들만 가득이길래 자극받고 공부하러 갑니다…...
-
6모 미적 백분위 86 4규 시즌1, 이해원 n제 시즌1 풀었음 설맞이나 드릴...
-
텔그 피바다다 1
다 빨개...ㅠㅠ
-
언매는 허수임 ㅠㅠ 궁금하신거잇음 질문주세요!
-
국어가 현역 3에서 백분위 98로 올랐는데 수학도 같이 안정적으로 바뀜 전 막...
-
독서는 인강 없이 가능한 건가요? 원래 독서 문학 둘 다 인강 없이 하려고 했는데...
-
화작 확통 정법 사문 순서임 ㅇㅇ
-
재수 안 한다는 가정하에
-
진짜 실수가 사람새끼가 아닌 정도로 많은데 adhd검사 받아볼만 한가 아무리...
-
과탐 제대로 공부하는건 올해가 처음이라서 이제 남은 기간 무슨 공부를 해야할지 잘...
-
보고 싶었다만 왠지 모르게 너앞에서만 freeze해
-
왜케 끊기는거야
-
왜 찾아봐도 안 나오냐
-
정시 원서 넣어봤으면 알겠지만 자기 주변 라인 제외 ㅈ도 모르고 관심도 없는게 정시...
고딩때 벡터 배울 때 벡터의 연산을 합이랑 스칼라곱을 배우는데
이걸 일반화시켜서 합이랑 스칼라곱이 잘 작동하는 공간의 원소를 벡터
내적도 뒤에 보면 똑같이 일반화함
n-tuple에 대해 같은 순서에 해당하는 원소끼리 곱하여 모두 더한다 <-- n차원 벡터공간에서의 내적의 정의
field를 선대에서도 언급하고 가나요? 선대본지 오래돼서 가물가물
강의는 아직 들어보지 못해 잘 모르겠습니다, 본문에 활용한 교재의 경우 첫 단원에서 벡터 공간을 정의할 때 체를 언급하고 맨 뒷 부분 부록에 소개해두었더라고요!
잘 기억은 안나는데 프리드버그가 확실히 수학과에서 쓰기 좋다던데 세밀하네요... 선대군엔 있었던거같기도? 없었던거같기도. 제가 배울때 썼던 strang에는 없었던거같음.
먼 나라 이웃 나라