람베르트 W 함수 (ft. 241128미)
여기 귀여운 함수가 있습니다.
그래프 개형은 이러합니다.
개형을 한 눈에 알아보기 위해 y=12xe^x의 그래프를 나타내었습니다.
만약 구간 [0, inf)에서 함수 y=xe^x의 그래프를 y=x에 대칭시키면,
다시 말해 함수 y=xe^x (x>0) 의 역함수를 구할 수 있을까요?
저도 과정에 대해서는 잘 모르지만,
역함수를 구할 수 있으며 이를 Lambert W function이라고 한답니다.
근데 이게 왜 재밌냐!
2024학년도 수능 수학 미적분 28번에서 g(t)를 직접 구할 수 있게 해주거든요..
2g(t)+h(t)=k라는 관계식을 주었으니 당연히 h(t)식도 작성할 수가 있고
비슷한 방식으로 x>5에서의 f(x)식도 논리적으로 작성해낼 수가 있습니다!
저는 처음 풀 때 주어진 관계식 보고 대충 y=2(x-k)e^{(x-k)^2} 꼴이 아닐까
생각하여 적분값으로 k값 결정했는데
굳이 적분값이 없어도 Lambert W function을 통하면 f(x)식을 작성해낼 수
있었던 것이죠! 교과 과정 외의 내용을 가져왔을 때 '과조건'인 셈입니다.
음함수 미분법을 통해 도함수를 구해볼 수도 있고
역함수를 이용한 치환 적분을 통해 부정적분을 구해볼 수도 있고
마찬가지 방식으로 x로 나눈 함수의 부정적분을 구해볼 수도 있습니다.
x로 나눈 함수의 도함수를 구해보시면 신기한 꼴의 함수도
접해볼 수 있으십니다!
Lambert W function과 비슷한 맥락에서
수능 수학을 공부할 때 알아두면 재밌는 함수들에
쌍곡선 함수 (Hyperbolic functions) 가 있습니다.
삼각함수에서 csc(x), sec(x), cot(x) 정의하듯이
앞서 정의한 sinh(x), cosh(x)에 이어 tanh(x), csch(x), sech(x), coth(x)를 정의해주면
tan(x)의 도함수가 [sec(x)]^2가 되듯 tanh(x)의 도함수가 [sech(x)]^2가 되는 것도
확인해볼 수 있으십니다.
람베르트 W 함수와 쌍곡선 함수에 이어
삼각적분함수도 알아두시면 재밌습니다!
이때 라플라스 변환과 이상적분, 리만적분 조금 섞으면
주어진 극한이 pi/2로 수렴함을 보여 두 sin적분함수의 차이가 일정함을 보일 수도 있습니다.
비슷한 맥락에서 cos적분함수에 대해서도 생각해볼 수 있습니다.
이때 gamma는 오일러 상수입니다. 참고로 e는 오일러 수입니다.
비슷한 맥락에서 쌍곡적분함수까지만 살펴보십시다!
함수 Si(x)의 맥클로린 급수는 다음과 같습니다.
참고로 맥클로린 급수란 중심이 x=0인 테일러 급수입니다.
테일러 급수란 미분 가능한 어떠한 함수의 특정 지점에서의 그래프를
n개의 다항함수의 합으로서 나타낼 수 있을 때
그 다항함수들의 합을 뜻합니다. (정확한 정의는 아닐 수 있습니다)
참고로 삼각함수 세 종류의 경우 맥클로린 급수 알고 계시면
위 글 속 내용처럼 도움 받을 수 있으실 때가 있을 거예요!
(굵은 글씨 누르시면 이동 됩니다)
아무튼 알아두시면 재밌을 수 있다는 것이지
저도 아직 수학과 아니라 잘 모르니까 질문은 Google에게 주시고...
2025학년도 수능 대비 파이팅입니다!!
<복습>
- Lambert W function이라는 것이 있는데
이거 쓰면 241128(미) 엄밀하게 풀 수 있다.
- sinh(x), cosh(x), Si(x), si(x), Cin(x), Ci(x) 이런 것도
같이 공부해두면 재밌다.
- 테일러 급수, 맥클로린 급수 익혀두면
삼각함수 극한 처리할 때 편할 수 있다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
아 개쪽 1
사이즈택스티커인가 그거 안떼고 돌아다녔음 오늘아침에 걍 새옷 걸치고 나와서
-
잘하지도 못하는데 재미는 없고 해야하는 쓰레기 같은 과목..에휴
-
언매 책 추천좀 0
기출 이감 상상 n제 6모 전에 끝내고 유기하다가 하려하는데 괜찮은 n제 있나요?...
-
수분감 2회독 중인데 얘도 2회독 할 필요 있나요?
-
독서실 갈 순있나 걸어가다가 떠내려갈거같은데
-
자아비판이 불가능하다
-
영어는 2~3정도입니다. 한지 2주 공부하고 쳐서그런가 너무어렵던데
-
내가 멍청해진건가
-
생윤vs윤사 5
사탐런해서 치대나 한의대를 목표로 하고 있습니다 내신으로 윤사, 생윤 밖에 안해봐서...
-
영화관 입개루 14
히히
-
작년엔 거의 필수메타였는데.. 퀄이 떨어졌나?
-
진짜 허리 존나아프다... 아ㅅㅂ ㅈ됐다 소리가 절로 나옴
-
방법이 없을까요? 남들 다 좋다는 운동, 수면, 명상 등등 헬스했을 때도 그렇고...
-
이제 그만할 때 됐지 미련없지 뭐
-
횡단보도 건너려니까 갑자기 붙잡고 성경은 예언서 어쩌고 씨불이길래 이건 또 무슨...
-
커뮤픽 아녓냐? 여기서 보니 반갑네 ㅎㅎ
-
드릴 난이도 0
방학때 드릴할건데 뉴런에서 브랜뉴런에서 조금틀리는거 제외하면 정답률 80퍼정도는...
-
n제 3회독? 0
슬슬 시중에서 유명하다고 말 나온 컨은 거의 다 풀었는데 남은 기간 동안은 n제에서...
-
오늘도 화이팅 1
10시되면 ㅈㄴ 졸려서 2시간 기절하는 거 아닐까 싶다.... 미적분 ㄹㅇ...
-
여친도 나랑 비슷하게 공부하는 수험생이면 가능 그 외에는 불가능
-
간쓸개 풀려는데 4
글자가 너무 작다... 안경을 써야겠음
-
ㄱㄱ
-
뭐야이거;;
-
오늘의 운세에서 1
야간 데이트하기 좋은 날이라는데 누구랑....?
-
여캐일러 투척. 3
수능 만점 기원 3일차
-
부모님이 집공 하라고 하심 비많이오고 천둥치고 바람도 씨게 불어서 일단 개이득..?...
-
패드 쓸 때 0
밝기 좀 낮추고 종이 필름 붙이고 쓰면 눈 딱히 안 아픔
-
얼리부기 6
아카데미로 가자
-
다들 ㅎㅇㅎㅇ 0
-
비오니까 머리 7
다꼬이네 ㅜㅜ
-
아 ㅅㅂ 애플워치 10
안가져옴
-
강대x 써킷이 4
공통 9~14번, 20,21번 선택 27~29번 급 문제가 있는거구나 11문제넹
-
아침추천좀 2
배고푸당
-
평가원 교육청은 잘 나오는데 뭘까
-
관악구 쪽인데 거의 1시간이 찍히네
-
비 오는게 좋다.
-
그래도 이성으로 절제하긴 하는데 하 ㅅㅂ 그냥 말거니까 화가 확 올라오네...
-
아니 그럼 다른 메디컬도 높아질거 아냐..
-
7모해설끝. 0
와 ㄹㅇ 개어렵네 미친ㅋㅋㅋㅋㅋ 최근 평가원 애지간한거보다 더 어려운거 같은데 그냥 숨쉴구멍을안주네
-
자기가 하나의 드릴만 풀어야한다면 이건 꼭 풀어야한다를 기준으로 골라주세요
-
본인도 11덮 예상 대학 건동홍이였음.
-
반수생 사탐 0
6모 사문,생윤 둘 다 1 떴는데 불안해서… 기출 문제집 한 번 쫙 돌리고 N제...
-
이게 무슨 일이야...
-
팔이 안움직여 0
머리로 누르고잒네
-
진짜 방송 탔어요? 자다가 일어나보니 방송탔다고 허네
화학 느낌이..
반데르발스 방정식? 공유 결합에서 원자 간 거리에 따른 힘 변화 보는 그래프였던가요
선생님 경제학과에서 이런거 배우나요?
"네"
중간에 '과조건'인 셈이었다는 표현은 수정하도록 하겠습니다! 적분값이 있어야 k값 결정이 가능하고 k=5가 결정되어야 f(x)=2(x-5)e^{(x-5)^2} (x>5) 를 결정할 수 있습니다.
후 재밌겠다
20 11 가 30
헉 201130(가)도 람베르트 오메가 함수로 무언가가 되나요? 내일 쉬는 시간에 갖고 놀아 보겠습니다...
아무튼 g, h 식 구할 수 있더라...~
와 재밌당 ㅎㅎ
KAIST에서 가톨릭대 의대 ㄷㄷㄷ 닉이 상당하십니다
ㅋㅋ 닉만 그렇지 카이에서지사의가기로 바꿔야겠어요 ㅠㅠㅠㅠ
끝까지 파이팅입니다 :)
넵 ㅋㅋ 감사해요
저거 부정적분 x(W(x)-1+1/W(x))+C가 맞습니다