[칼럼] 기출이 중요하다고? 지겨운데.. 어느 정도로 해야하는 걸까?(feat. 6월 미적분 28번)

기출 분석, 어느 정도로 해야하는가?

(장문 주의) 

<최상위권 선생님이 알려주는 수능 공부에서 꼭 필요한 것>< https://orbi.kr/00063930170 >에서 이어지는 글입니다

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<평가원 기출문제의 특징>

평가원 기출문제는 한 문제 안에 여러가지 문제 상황이 복합되어 있습니다

2, 3점 짜리 문제는 교과서 예시 문제 수준으로 한 문제 안에 하나의 문제 상황만 포함시키는 경우도 있지만 대부분의 경우에는 최소 두 개 이상의 문제 상황과 판단을 요구합니다. 

그리고 그 틀은 꽤나 일정합니다.

4점 문제부터는 최소 두가지 이상의 수학적 개념을 한 문제 안에 유기적으로 녹여놓습니다. 

어렵게 만드려는 경우 무엇을 물어보는지 모르게 [껍데기]를 씌워 어떤 개념을 물어보는지 모르게 만들어 놓습니다. 

예를 들어, 이따 자세히 다루겠지만 ”함수가 연속한다“는 조건을 주고, 불연속일 수 있는 지점을 아예 생각하기 어렵게 만듭니다. 

보통, 구간 별로 정의된 함수거나 분수꼴로 표현되어 정의역(구간)을 알아서 나누는 등 행위를 통해 [함수의 연속] 조건을 활용하곤 하는데 이게 안보이게 숨기는 것입니다.

그런데, 이렇게 숨기는 행위를 너무 터무니없이 새롭게 주지는 않습니다. 

기존 기출문제에서 활용하지 않았던 아이디어는 어느 정도 학생을 배려해줍니다. 

학생들이 시험장에서 처음 본 문제 상황을 [여기까지 바로 해결하기는] 어려울 거라 판단되면 

빈칸넣기로 사고 흐름을 잡아주거나 매력적인 오답 선지를 ‘제거’함으로써 

한 번 더 생각해볼 찬스를 주는 식으로요.

그런데 기존에썼던 아이디어라면 꽤나 어려운 수준으로 내기도 합니다. 

이게 소위 킬러로 불리는 문제들인데, 앞으로 안낸다고는 하지만.. 글쎄요. 솔직히 요즘 킬러들이 교육과정에서 심하게 벗어난건 당연히 아니거니와 기존 기출들에서 자주 나왔던 내용들을 활용했기에.. 극악무도하다거나 학원을 다니지 않으면 해결하는데불리하다고 생각되지는 않는데, 뭐 정책 얘기 할 것은 아니니 각설하고! 

무튼, 수능 문제들을 곱씹어보면 대부분의 문제 상황이 기출에 이미 나와있는 상황들입니다. 

또한 지엽적이거나 “특별한” 경험을 해야만 해결할 수 있는 문제 상황을 주지 않아요. 

굉장히 근본적인 내용들을 물어봅니다. 

제가 앞선 [수능 공부 마인드]에서기본 개념과 기출로도 고득점이 가능하다고 한 이유이기도 하구요.

자 그럼 밑에서 몇 가지 예시를 보며 

실제로 학생들이 어렵게 느꼈던 문제들이 

정말 기존에 쓰였던 아이디어들로 구성되었는지 알아봅시다.

다소 무거운 칼럼이 될  것 같아요. 시간 되실 때 각잡고 보시길 권장드립니다.

(캡쳐된 기출문제 이미지의 출처는 [매쓰플랫]입니다. 혹시나 문제가 된다면 말씀해주세요)

** 2,3점 문제들과 쉬운 4점들은 기본 예제 수준인 경우들이 많으니 이런 부분은 굳이 언급하지 않겠습니다. 

**또한 비슷한 상황을 과거 기출 문제에서 가져올 예정인데, 너무 많이 반복되었거나 언급만으로도 많은 분들이 충분히 공감할 주제들은 예시캡쳐 없이 설명하겠습니다.

중간 이상 난이도 4점 예시

이번 6월 문제고, 정답률이 69% 입니다.

쉬운 문제죠? 

왼쪽 1~n 까지 시그마 처리한 부분을 Sn으로 이해하는 것 많이 나온 내용이고, 

우변의 상수항 없는 n에 대한 이차식은 [등차수열의 합]이라는 것이 잘 알려져 있습니다. 

시그마 안쪽 더해지는 수열과 등차수열이 같으므로 교과서에 나오는 부분분수꼴 계산이죠? 

어느 것 하나 지엽적인 내용이 없습니다.

쉬운 문제였으니 그럴수도 있겠다구요? 

다음 문제를 봅시다

마찬가지로 올해 6월 문제입니다.

곡선과 직선과의 거리가 최소인 점을 어떻게 찾죠?

(1) 직선과 같은 기울기값을 미분계수로 같는 곡선 위의 점을 찾는다.

(2) 그 점에서 직선까지의 거리가 최솟값이다

지엽적이거나 기출문제에서 처음 언급된 내용이 아니라는 것 다들 공감 되실 겁니다.

[또한, 좌표평면에서 교점들이 주어졌을 때, 그 점의 x좌표를 미지수 두고 관계식 찾는 것]

지수로그 함수 단원이든, 삼각함수 단원이든, 함수의 극한 단원이든 너무 많이 나오는 내용 아닌가요?!

여기서부터 조금 벅찬 분들이 생겼을 것 같아요. 

“객관식이라서” 정답률은 꽤 높습니다. 66%

등차의 합은 등차라는 것, 그리고 그 새로운 등차의 공차는 더해진 등차수열들의 공차 합이라는 것. 

잘 알려져 있습니다.

이 부분만 챙기면 bn의 공차가 2d이므로 A와 공통 원소가 3개가 될 방법을 충분히 생각할 수 있었을겁니다.

역시 지엽적이거나 경험이 부족해서 어렵다고 보기엔 무리가 있어보입니다.

정적분으로 정의된 함수 g(x)가 주어졌습니다

f(x)가 도함수 & x=0에서 x축과 만남(= x축 결정됨)

교과서 내용 + 많은 선생님들이 강조하는 내용입니다.

그 다음, x≥1 인 모든 x에서 g(x)≥g(4) => 이거 보고 무슨 생각 들어야 할까요?

x≥1 에서 g(x)의 최솟값이 g(4) 이다. 즉, 4에서 최솟값을 갖는다!

그럼 연결되는 개념은요? 함수의 최대최소 찾고 싶으면 뭐하셔야하죠?

x≥1에서 그래프! 그리고 싶어야 합니다

전부 교과서 개념이죠?

그런데 |g(x)|의 최솟값은 3에서 생긴답니다.

|f(x)| 와 f(x)의 조건을 생각하는거.. 너무 많이 나왔죠? 

g(x)의 최솟값이 4에서 생기는데, 절댓값을 쳤더니 3에서 최소래요. 그러면 g(3)이 몇일까요?

이런건 여러분이 n제를 덜풀어서 안보이는게 아니에요

특정 구간에서 부등식이 항상 만족할 조건에 대한 이해 부족

또는

절댓값 함수에 대한 개념 부족

인데, 이 둘 다 기본 개념 + 기출에서 충분히 숙련 가능합니다.

찍기 가능한 주관식인데도 33%가 나왔네요

여러분이 어렵게 느꼈다는 뜻이겠죠?

먼저, 두 함수의 교점의 x좌표를 새로운 함수로 정의하는 아이디어는 미적분쪽에 몰려있긴 하지만 꽤 많이 나왔습니다.

g(x)가 x좌표로 정의된 예시입니다

난이도는 22번이 더 어렵지만 기본적으로 상황을 독해하는데 필요한 관점은 이미 수능에 출제 되었습니다. 

조금 과거로 가보면, 미적분 파트에서 역함수 다루는게 한창 유행할 때 나왔습니다

여기도 교점의 x좌표를 새로운 함수로 정의한 후 가지고 놀게 했죠?

또, ㄷ의 경우 f(t)와 t를 크기 비교하는 내용이 나왔는데, 이건 지수로그에서 너무 많이 나왔습니다.

이 문제에서 ㄱ하고 사실상 똑같은 내용입니다.

왜인지 이해가 안되신다면 기출 공부가 덜 된 것으로 생각하시면 됩니다

(여기서 다 설명하려면 글이 너무 길어질 것 같습니다 ㅠㅠ 양해 부탁드려요)

이번 6월 22번입니다.

난이도가 어렵진 않았지만, 

여러분 시험장에서 시간도 부족했을거고 22번이라는 특수성 때문에 

손을 안댄 분들이 많았을 것 같습니다. 그래서 정답률이 32%로 기록되었네요

여기서 평균변화율꼴로 표현된 곳을 증가/감소 개념으로 이해하는 것이 필요했습니다

혹은, 평균값의 정리를 활용해 f’으로 이해하거나요

(이 부분의 논리적 엄밀성을 수능 수준에서는 안따져도 됩니다. 그냥 쓰셔도무리 없습니다)

여튼 평균변화율 모양을 활용하는 것은 진짜진짜 많이 나왔죠..?

여기도 있고,

이외에도 함수 자체를 기울기/ 평균변화율로 정의하게 하는 상황도 많았습니다.

작년 수능 22번도 그렇구요.(이 상황하고 딱 맞아 떨어지지는 않지만)

쓰다보니… 다른거 다 하다간 너무 길어질 것 같아서 

이 칼럼을 쓰기로 마음먹은 이유인 올해 6월 미적분 28번에 대한 설명을 하겠습니다.

여러모로 논란이 많았던 문제죠?

음.. 솔직히 이 문제를 시험장에서 정확한 논리로 푼 학생이 얼마나 될지 모르겠습니다

그런데, 여러분이 수능장에서 모든 문제를 다 정확한 논리로 푸실 필요는 없어요(사실 저도 시간 재고 처음 풀 때는 오류가 있는 풀이로 답을 냈었습니다)

수능 날엔 진짜 그냥 맞으면 장떙입니다.

다만, 적어도 비논리로 인한 불안함이 적으면 유리하므로 평소엔 비약없이 정교하게 공부하는 것이 바람직하구요.

(출제진들이 설정하는상황들을 때려맞추는 연습 정도는 좋긴 합니다. 막판에!)

여튼, 정말 어려운 문제가 맞습니다.

이 문제가 어려운 이유는 f(0), f(2)를 구한 뒤, a+b를 찾은 후

!! 도대체 무엇을 해야할 지 모르겠기 !! 때문입니다.

연속 조건을 활용해야겠는데, 이걸 어떻게 써야할지 모르겠다고 느낀 학생이 많았을 것 같아요

자, 이 문제에 대한 다양한 풀이 중 제가 생각하는 출제 의도를 설명하겠습니다.

먼저, f(0)과 f(2)를 구하는 과정에 대한 설명입니다

f(0) 와 f(2)를 x^2+2x = a+b 의 두 실근으로 이해해야 합니다

즉 그래프를 떠올려보면 x=-1이 축이 되므로 둘의 차가 1이라는 것은

-1을 기준으로 1/2씩 앞뒤로 움직였다는 이해가 필요하죠

이와 비슷한 내용도 많은데 대표적으로

여기서 a, b를 

방정식 nx-x^2 = 2^k(k는 자연수) 의 실근으로 이해하는 것과 같은 내용입니다

그 다음은, 또는(or) 함수에 대한 이해가 필요합니다

수능에서 f(x)에 대한 항등식을 줄 때, 

마치 f(x)에 대한 방정식처럼 해석해서 직접 f(x)를 구하게 만드는 상황들이 꽤 있었는데요.

저는 이 상황을 또는(or) 함수로 설명합니다

자 이 문제를 푸는 과정에서

f(x) , g(x) = x^2+1  또는 3x-1 

로 표현됩니다.

그동안의 구간별로 주어진 함수와 다르게, 어느 구간에서 어떤 함수인지를 준 것이 아니라

조건에 맞게 구간을 정해줘야 하는 것이죠

그런데!!! 여기서 연속이라는 조건을 줬습니다.

그러면 f(x) 입장에서 x값마다 x^2+1 이나 3x-1 을 선택해야 하는데 

만약 x^2+1을 따라가다가 3x-1로 갈아타려면 [교점]에서만 갈아탈 수 있습니다.

안그러면 연속이 될 수 없으니까요.

이런식으로 연속조건은 또는 함수에서 구간을 결정하는 중요 조건이 되어줍니다.

다른 경우도 볼까요?

이 문제도 

f(x) = +|이차함수| 또는 -|이차함수| 

로 정의되어 있습니다.

구간별로 선택해줘야 하는데, f(x)가 연속이라는게 나와있죠?

그래서 x= 자연수에서만 갈아탈 수 있죠

(물론, 이 문제는 이런 관점을 모르셨더라도 그냥 푸셨을겁니다)

하지만, 이런 관점을 여기서 읽어낸 사람과 못읽어낸 사람은 차이가 크죠

또 다른 예시를 볼까요?

여러분, 똑같은게 느껴지시나요?

굳이 더 말하지 않겠습니다

기출 분석이 잘되신 분들은 제가 위에서 한 얘기들이 자세한 판서 설명이 없음에도

다 끄덕끄덕 이해가 되셨을거예요.

자, 또는 함수에 대해서 이해가 되셨다면

왜 여기서 f(x)를 구할 생각을 하는지 아실거예요

‘연속조건 활용하고 싶은데’ ‘그동안 출제된 것 중에 생각나는게 이거라서’ 입니다

뭐, 여기서 +1을 양쪽에 하든 근의 공식을 쓰든 그건 중요치 않아요.

여하튼 f(x)를 구할 수 있다는 겁니다.

주어진 항등식의 우변을 g(x)라 하면

f(x) = -1+√(g+1)   또는  -1 - √(g+1) 

로 구해지죠?

이게 연속이려면?

둘의 교점에서 바뀌어야 한다! 가 판단됩니다

그런데 f(0)과 f(2)의 값 때문에 (0,2)에서 무조건 한 번 갈아타게 되어 있거든요?

그 지점을 찾는거예요.

그건 어떻게 찾느냐?

g=-1인 지점에서 바뀔 수 있는데,

여러분, √ 가 나오면 뭐해야하죠?

√   안에 있는 부분이 ≥ 0 (0 이상이다) 써줘야 하죠?

이건 수능에 나온 적 있을까요?

루트 조건을 써서 f(t)≤2  & f’≥0 을 찾아내는게 문제의 핵심이었습니다

이것 역시 제가 여기서 자세히 설명하지는 않지만 공부 하셨다면 알거예요!

여튼 다시 올해 6월 28번으로 돌아와보면

루트 조건을 따지고 나면

g의 최솟값이 -1이라는 겁니다.

그럼 g의 최솟값은 어떻게 찾는데요?

그래프 필요하죠? 그러니까 미분하는거예요

뭐 여기서 치환을 해서 미분하든 그냥 미분하든 약간의 시간차가 있을 수 있겠지만

핵심은 그런게 아니란겁니다

자 올해 6월을 활용해서 간단히 설명해 봤는데

여러분 정말 기출을 이 정도로 이해하고 계신가요?

저처럼 과거 문제와 미적분 - 수2를 넘나드는 건 학생분들 혼자서는 어려운게 맞으니

그 정도는 아니더라도

적어도 최근 5개년에 출제된 문제들에 대해 이 정도로 심도 있게 공부하셨나요?

아니면 그냥 어떻게 푸는지 알고만 계신가요

스스로 진단해보시면 어떤 공부를 하셔야 할지 알게 될겁니다

이 부분을 잘 공부하시고 N제를 푸시면

N제에서의 경험들이 여러분의 실력을 엄청 끌어올려줄 것이지만

기출 분석이 안되어 있는 분들이

[기출을 바탕으로 변형하거나 예상한] N제를 푸는건

음…전 너무 비효율적이라 생각해요

다시 한 번 강조하지만 저는 많은 경험을 하는 것에 반대하는게 아닙니다

수학에서 다양하고 새로운 문제 상황을 많이 경험하는 것은 너무 중요해요!!

그런데 그 새로운 상황을 해석할 때, 밑바탕이 되어 있어야 

새로운 경험들이 여러분 실력으로 전환된다는 거고

우선적으로 해야할 경험들이 이미 있는데, 

그 것을 온전히 경험하지 않고 넘어가버리는 수많은 학생들이 안타까워 역설하는겁니다

평가원 기출을 보면서

내가 이 것을 풀어내려면 필요한게 뭐지?, 뭘 해야하지?

이렇게 생각해보세요!!

그럼 해야할 것이 명확해집니다

판단은 여러분 몫입니다.

제가 학생들을 가르치고 수능 수학을 어떻게 하면 실전에서 잘풀게 할까 연구한 결과들을 알려드린 것 뿐입니다.

모쪼록 방향을 잡는데 도움이 되셨길 바랍니다 :)

다들 남은 기간 힘내셔서 모두 좋은 결과 있으시길 바라요!!!