칼럼14) 삼각함수 그래프

최근 사설에서 많이 다루고 있는 주제인 삼각함수 그래프에 대한 칼럼입니다. 많이들 요청해주신 거라 혼을 갈아서 썼어요 

다른 파트도 마찬가지겠지만, 문제에 쓰이는 개념 자체는 많이 없습니다. 다만 상황이 낯선 탓에 적재적소에 떠올리고 써먹기가 힘들죠. 

때문에 자기가 쓸 수 있는 도구가 뭐가 있는지, 배운 개념이 어디까지인지 정리해볼 필요가 있습니다. 문제 풀다가 길이 안 보일 때 "아 무조건 이런 관계 중 하나일거야" 생각하며 당황하지 않을 수 있기 때문이죠.   

1. 주기감각

2. 대칭감각 

3. 각변환

4. 비율관계

5. 위상

개념은 이 5개면 충분할 것 같습니다. 

2~4는 딱히 제가 추가적 팁을 드릴 게 없는 뻔한 내용이라 빠르게빠르게 넘어갈게요. 

한편 5번 내용은 좀 새로울 겁니다. 예전에 만들어둔, '평행이동된 삼각함수를 인식하는 꽤나 괜찮은 방법'입니다.

(주변에 쓰거나 가르치는 분은 못 봐서 이렇게 표현하긴 했는데... 이미 알고 계셨다면 할 말은 없네요ㅋㅎㅋ ㅜ)

1. 주기감각

주기에 대한 감각을 키울 필요가 있습니다.

이건 당연히 주기로 보여야 하구요,

이것도 주기로 인식할 수 있어야 합니다. 

주기 양끝의 중간 지점도 한 번 찍어볼게요. 

그러니까 x좌표가 A와 B는 2파이만큼, A와 M은 파이만큼 차이나는 것입니다. 

재밌는 건, 세 점 A,B,M의 y좌표 절댓값이 항상 같아요.

A가 원점에서부터 멀어져온 파란 거리만큼을

M역시 달려왔기 때문이죠. A와 M이 움직이고 있는 곡선 경로는 합동입니다.

y좌표 절댓값이 같음은 수식적으로 봐도 자명합니다. 

다음 관계를 만족하기 때문이죠. 파이만큼을 더 달려가면, 절댓값은 같고 부호가 바뀝니다.

다시 아까 그림으로 돌아갈게요.

이 상태에서 주기의 시작점인 점 A의 위치를 바꿔가며

-> 그에 따라 B의 위치가 바뀌고

-> M이 A와 같은 y좌표 절댓값 가지며 움직이는 과정

을 영상처럼 연상해보시는게 주기 감각을 키우는 데에 도움이 될 겁니다.

물론 그 상상이 중요한 건 아니고, 핵심은 시작점에 관계없이 주기를 잘 읽자입니다. 관련 문항을 볼게요. 

(전에도 올렸던 좋은 문제인데 많이 안 보셔서 ㅈㅐ탕...ㅎ)

[예제1]

(풀이)

일단 이게 한 주기(2pi) 인게 보이셔야 합니다. 그러면

표시한 빨간 부분이 2파이이고, 그 옆 초록부분은 3.4파이-2파이=1.4파이가 됩니다. 

그럼 여기도 1.4 파이일 것입니다. 표시한 저 노란 부분은 2파이-1.4파이=0.6파이가 됩니다.

구해야 하는 길이는 CD인데요, 여기서도 우선 표시한 빨간부분이 주기인게 보입니다. 2파이가 되겠네요. 그리고 나서 남은 노란 부분의 길이는 아까 구한 0.6파이의 절반인 0.3파이일 것입니다.

답은 2.3파이입니다. 

이것 외에 다른 풀이도 많이 있겠죠. 주기를 가지고 이리저리 놀다보면 풀리는 문항이었습니다. 

2. 대칭감각

사인 함수 안에는 무수히 많은 대칭, 닮음 관계가 있죠. 잘 읽어내고, 좌표를 잘 표현해주면 되겠습니다. 

이 자체로는 어렵지 않은 내용이라 여긴 패스할게요. 

3. 각변환

어찌보면 이 부분이 사설이 가장 사랑하는 부분이 아닐까 싶습니다. 

tan함수의 각변환과 sin cos의 각변환이 있죠. 

(1) tan함수의 각변환

은 이미 써둔 칼럼이 있습니다. 

칼럼6) 삼각함수 이모저모

클릭하시면 해당 칼럼으로 넘어가요!

tan함수의 각변환 두 개를 함수 위에서 읽는 방법을 확인하시면 됩니다.

(2) sin, cos의 각변환

둘의 각변환을 그래프 위에서 읽어낸다는 것은 곧 평행이동/대칭이동을 읽어내는 것입니다. 

tan의 경우에는 제대로 정리해둘 필요가 좀 있습니다. 각변환이 y좌표에 대한 얘기로 귀결되는 탓에 눈으로 확인이 안 되기 때문이죠.

반면 sin cos은 그려놓으면 눈으로 간편히 확인이 됩니다. 그래서 이걸 유형을 나눠서 열심히 정리하고... 그럴 필요가 없어요. 너무 많기도 하구요. 아래 관계 세 가지를 보면서 고개 끄덕일 수 있으면 충분하다고 봅니다. 

(유형을 나눠놓은 게 아니예요. 가독성을 위해 넘버링한 겁니다)

1.

: cos에서 세타만큼 간 것이, sin 파이/2에서 세타만큼 더 간 것과 같다.

2.

: cos에서 세타만큼 간 것이, sin 파이/2에서 세타만큼 덜 간 것과 같다.

3.

: cos에서 세타만큼 간 것이, sin -파이/2에서 세타만큼 더 간 것과 같다.

기본 sin cos에서 볼 때 아주 당연하게 받아들일 수 있는 내용이죠. 

반면 3/2파이 차이와 같은 것은 안 보일 때도 있을 겁니다. 거기에 sin (5x), cos (5x) 처럼 변형이 가해진 상태면 더욱 그렇겠죠. 그럼 이걸 다 외워야 하냐... 당연히 아니구요, 다음과 같이 행동 강령을 정해두시면 되겠습니다.

문제를 딱 봤는데 주어진 두 점이 

파이 차이/ 2파이 차이 -> 아마 바로 보일 겁니다.

파이 차이/ 2파이 차이가 아님 -> 혹시 홀수 파이/2  차이? 하고 의심하기.

둘 다 아니라면 '각변환이 아니구나. 그 외 다른 조건을 이용해야겠구나' 생각하며 나머지에 집중하는거죠.

두 유형 외의 각변환은 배운 적이 없기 때문입니다.

이건 tan에도 적용되는 얘기에요. 무슨 소리냐면...

다음과 같은 상황에서 열심히 풀고 있는데 길이 안보인다면...

"혹시 ab=-1이고 점 B와 점 A는 파이/2 차이인가? 그걸 유도할 조건이 있을까?" 라는 의심을 해볼 필요가 있다는거죠.

교과과정 상 배운 각변환이 몇 개 없다는 것을 역이용한 겁니다.

4. 비율관계

비율관계는 다들 충분히 잘 알고 계실 것 같아요. 그만큼 정말 중요한 내용이죠.  

요새 sin이 그대로 나오는 문제가 많이 없죠. sin3x처럼 확대축소된 형태로 나옵니다. 

때문에 위의 숫자 관계를 익숙하게 해둘 필요가 있습니다.

(숫자는 어떻게 외우시든 상관없어요. 꼭 저 분수가 아니어도 됩니다.)

5. 위상

드디어 메인입니다. 평행이동된 삼각함수를 평행이동이 아닌, 위상으로 간편하게 읽는 방법이에요. 

사실 저는 삼각함수를 맨처음 풀 때부터 이렇게 했기에 매우 익숙하고 간편하게 느껴집니다. 그런데 다른 분들께도 그렇게 느껴질지는 모르겠어요. 확실한 건, 생각할 가치와 의미는 있다는 겁니다. 

읽어보고 나서 실전에서 쓸만하다 싶으신 분들은 채택하시고, 나는 좀 복잡한 거 같아 싶은 분들은 '오 이런 생각도 할 수 있구나' 하면서 넘기시면 될 거 같아요.

중요한 건 자기가 실전에서 쓸 수 있냐 없냐니까요.

위상을 이용해 푸는 모습을 간단히 보여드리고 나서 자세한 얘기를 시작해볼게요. (2월 20일쯤에 올렸던 문제입니다.)

a,b를 구해볼게요. 

표시한 두 부분은 각각 위상이 0, 파이/2 인 점입니다.

일반적인 코사인 함수의 그래프에서 아래 그림의 두 점에 대응되기 때문이죠. 

두 점은 원래 x좌표가 파이/2만큼 차이나야 합니다. 그런데 문제 상황에서는 5/2파이만큼 차이가 납니다.

5배 확대된 셈이죠. a는 1/5입니다.

이제 b를 구해볼게요. 

이 점의 위상이 0이라는 건, x에 -3파이/2를 대입했을 때 내부가 0이 나온다는 뜻입니다.

꼭 저 점을 잡아서 계산할 필요는 없어요. 어디를 잡아서 계산하든 b값은 동일하게 나옵니다.

한편 b값을 다음과 같이 계산해도 됩니다.

두 길이비가 3:2죠. 이를 이용해 아래 그림 주황점의 위상을 구할 수 있습니다. 

파이/2를 3:2로 내분하는 지점, 3파이/10이 될거에요. 주황점에서의 위상이 3파이/10이라는 것은 b가 3파이/10임을 의미해요. x=0을 대입해야 하기 때문이죠. 

여기서 중요한 정보를 얻을 수 있습니다.

"b값" = "x=0일 때 위상" 

b에는 이런 의미가 숨겨져있던 것입니다.

이제 위상 개념을 제대로 짚어볼게요.

<위상 개념>

앞으로는 sin(ax+b)를 인식할 때 평행이동으로 인식하기보단 sin 안에 들어간 x에 대한 식 자체를 하나의 각으로 인식해서, 보여드린 것처럼 위상 관찰을 하는 겁니다. 위 그림은 대응되는 위상을 쭉 찍어둔 거에요. 

여기서 의문이 생기는 점은, "위상 0인 곳을 어떻게 찾지?" 일 겁니다. 그 비밀은 b에 숨어있어요. 

위 그림은 b가 -2파이~0 사이일 때입니다. 

만약 b가 0~2파이라면 

이런 식으로 하나씩 땡겨줘야겠죠. b값 범위를 통해 모든 위상을 결정할 수 있습니다.

이쯤에서 문제 하나를 더 풀어볼게요.

아까와 모든 상황과 그림이 같은데, 딱 하나가 달라요. a가 음수입니다. a, b를 구해볼게요.

아까랑 확대축소의 정도가 같으므로 a=-1/5입니다. 부호만 슉 바꿔주면 돼요.

b를 구하기 위해 위상을 봐야 하는데...

x=-3파이/2인 지점의 위상이 어떻게 될까요. 0인지 2파이인지 헷갈릴 수 있습니다. 

결론은 2파이입니다. 아래 그림처럼 두 지점의 위상이 각각 2파이, 3파이/2 인거죠.

이는 a가 음수라서 위상의 진행방향이 반대로 가버리기 때문이에요. 만약 저 곳의 위상이 2파이가 아니라 0이라면,

b값, 즉 x=0에서 위상이 음수가 됩니다. b 범위가 0~2파이라고 했으니 이건 아니겠죠. 

제 글을 오래 봐오신 분이라면, 함수를 확대축소와 진행을 이용해 해석하는 모습을 자주 보셨을 겁니다.

cos(ax+b)에서 a는 진행속도를 의미해요. 그리고 진행속도는 함수의 확대축소를 결정하죠.

이때 속도는 방향도 포함하고 있는 개념입니다. a가 음수라는 것은 역방향으로 진행한다는 거죠. 

a와 b의 의미가 아직 와닿지 않을 수 있어요. 단위원을 통해 직관적으로 표현해 볼게요.

b, 즉 2파이/3은 진행을 시작하는 각을 의미합니다. a, 즉 3은 진행 속도를 의미해요. 이 그래프를 그려보면...

이런 느낌으로 그려지는 거죠. 진행속도가 3배이므로 함수는 3배 빨리 진행하는 탓에 1/3배로 축소됐을겁니다. 주기는 2파이/3이겠네요. 

(+ 수정: y절편 루트3/2 네요)

진행속도가 음수인 경우도 볼게요.

속도가 음수라면, 다음과 같이 역방향으로 각이 진행되어야 합니다. x가 증가함에 따라 sin안의 동경이 작아지니까요.

역시 그래프로 그려보자면 

아까와 y축 대칭이 되고, 위상의 진행 방향은 점점 작아지는 쪽으로 가겠죠. 단위원을 곁들여서 이해하면 훨씬 직관적으로 개념이 다가옵니다.

(+ 수정: y절편 루트3/2 네요)

지금까지 소개드린 위상 개념은 함수가 평행이동된 상황에서 계산을 수월하게 해줍니다. 삼각함수 자체에 대한 이해도 높일 수 있는 재밌는 관점이기도 하죠. 이걸 이용해 문제 몇 번 풀다보면, 확실히 빨라진 자기 모습을 볼 수 있지 않을까 합니다. 

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