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책참 [1020565] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2023-04-06 00:37:59
조회수 5,594

[미적 자작 문항] 등위선 (level curve), 음함수 미분법

게시글 주소: https://games.orbi.kr/00062614805

함수 위를 움직이는 점 과 함수  위를 움직이는 점 사이의 거리를 라 하자. 


이때 함수  의 최솟값과 그때의 t, u값을 구하고 이를 논리적으로 설명하시오.




조금 더 깔끔한 표현을 아래 남깁니다. 해설은 변동 없습니다.




























<해설>

우선 직관적으로 찍어보기 위해 그래프를 확인해보자.



대충 왠지 (0, 1)과 (1, 0)에 위치해 답이 sqrt2가 될 것 같긴 하다.


자 이제 논리적으로 생각해보자.




이렇게 생각할 수 있고 sqrt(x)는 증가함수이니 L(t,u)는 저 [   ]에 있는 식의 값이 최대일 때 최대일 것이다.




라 하자. 이때 점 (t, e^t)를 어디 하나 잡으면 이 점은 함수 y=ln(x) 위의 점 (u, ln(u))에서의 법선의 방정식을 지날 것임을 알 수 있다.


(이는 등위선과 관련된 내용인데... 아래를 참고하자)




등위선(Level curve) 이용하여 최대/최소 문제 쉽게(?) 풀기




법선의 방정식은 다음과 같을 것이고




그럼 u와 t 사이의 관계식을 얻을 수 있다.




편하게 정리하면 이러하다.


이제 그럼 음함수 미분법을 통해 다음을 구해보면




이때 위에서 얻은 관계식에 의해 다음을 알 수 있으므로




식을 정리해보면 다음과 같다.




자 그럼 대충 t=u or t=ln(1/u)일 때 z(t, u)가 극값을 지닐테니 이때를 조사해보자.



엄밀하게 생각하면 이러한 상황이니 극값이 존재한다면 그것은 극소일 것임을 알 수 있다. (사실 이것도 직관적인 것 같긴 한데 더 이상 엄밀하게는 지금으로서 못 보이겠음)


먼저 t=u일 때는 관계식이 다음과 같이 모순이므로 (만족하는 t가 존재하지 않음)



(참고로 저 E 뒤집고 / 그은 것은 'not exists'라는 뜻이고 s.t.는 such that의 약어로 '다음을 만족하는' 정도의 의미입니다.)


t=ln(1/u)일 것이다. 다시 말해 u=e^(-t)일 것이다. 이를 활용해 관계식을 정리해주면 아래와 같다.



그럼 이를 만족하는 t를 찾아보면



t=0이다. 좌변의 함수의 도함수를 생각해보면 



부호만 고려할 때 e^t에 관한 이차방정식이니 근의 공식을 생각해보면



를 만족하는 t에 대해... 대충 아무튼 그래프 그려보면 t=0이 유일합니다.



자 그럼 우리는 t=0이고 u=1일 때, 


다시 말해 t=ln(1/u)이어서 z(t, u)의 t에 대한 도함수의 함숫값이 0일 때 


함수 z(t, u)가 최솟값을 지님에 따라 


함수 L(t, u)도 최솟값을 지닐 것임을 알 수 있습니다.



이는 점 (0, 1)과 (1, 0) 사이의 거리이므로 답은 처음에 직관적으로 예상했듯 sqrt2가 됩니다.


뭐 t로 시작하든 u로 시작하든 상관없으니 함수 L(t, u)를 u로 미분하는 쪽으로도 풀어보셔요 ㅎㅎ









이 문항은 2021학년도 9월 가형 30번에서 제작 아이디어를 얻어




2014학년도 6월 B형 30번에서 풀이의 해결책을 떠올렸습니다.


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