0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
70% 이상으로 하시는 분들은 뭐임..?? 내가 너무 민감한가
-
언매 92 떴다!! 요즘 국어 많이 늘어서 기분좋음 ㅎㅎ
-
내인생 0
푼거 틀리고 못푼거 틀리고
-
자사고 수학 0
문과가 이과 70% 넘는 자사고에서 수학 40점도 못 넘는데.. 진짜 어떻게 해야...
-
공통은 다 맞은 거 같은데 미적 벌써 3문제 날아간 듯..? 28 30 못 풀고 29는 풀고 틀..
-
보정 3 보정 2 됨? ㅅㅂ 안될듯
-
뭐야 1번임? 왜?? 공차 2 나왔는데
-
1학년&2학년1학기 내신 7~8 1학년&2학년 6모까지 모의고사 국수탐 전교 1등...
-
수학 시험 0
40점을 못 넘는데 그냥 개념도 모르는 건가요.. 근데 이게 앞 번호만 맞춘게...
-
기출정식 검색해보니 고1영어와 고2영어밖에 없던데요 5
알라딘에서 검색해보니 저 두권이 나오던데요 저게 맞나요???
-
지금 와서 역으로 민폐이미지 씌울려고 지랄하는거 진짜 역겹네
-
루트2 아님?
-
제발 ㅅㅂ 이거까지틀리면걍혀깨물고자살함
-
어렵네요이 3
일단 22 28 29 못 풂ㅋㅋ
-
공통보다 어려운 적은 처음이야 내가 공통을 잘하게 된 건가 28부터 찍음
-
생각보다 못봄..
-
학점 부모님한테 알려드렸는대 B는 학교 다니기만 해도 나온다 그러시는대 저과목 밤새서 공부함 ㅠㅠ
-
3에서 최소라는 조건을 어케 써야할지 모르겠음..
-
옆에 아줌마랑 어디가는길이에요 대학생이신가요 이러길래 바로튐 ㅁㅌㅊ?
-
수학 개조졌네 0
분명 풀 때는 21 22 빼고 다 풀었는데 15 20 21 22 28 29 30...
-
하 ㅅㅂ
-
답인줄 알았는데... 이걸
-
ㅅㅂ 뭐지
-
좀 살살해라 살살
-
아니 12번 12
진짜 답 머임 수학
-
큰일났다 영어 4
너무 보기싫은데
-
喝!!! 3
올만의피의공부머신.
-
4 16 7 맞나용? 미적입니답
-
나라사랑통장에 4만원정도 돈이 들어있던데 입금한적이 없거든요..? 이 돈이 왜 있는걸까요,,
-
7덮 수학 0
12,14,21,22,28,29 틀 76 확통인데 몇등급 예상하시나요..
-
재수하고 24 6모에 강민철 강기본 +강기분 듣고 (수특연계 시간없어서 대비못함)...
-
더프마다 유출은 거의 무조건 나오네
-
24명이 보는 내신시험에서 1등 동점자가 3명인경우 2
세계지리 내신을 하는데 23명이 응시자로 1등급 한명 2등급 한명 3등급 2명 밖에...
-
진짜60층가겠는데
-
수학 84인데 잘한건가여? (미적)
-
ㅈㄱㄴ
-
뭐야유출이였음? 0
개꿀 좆망해도유출시치때매컷이런거다로 합리화가능
-
아 ㅋㅋ 독서 -10 문학 -13 화작 -2 설홍전 다 틀림 레전드 사건 발생
-
항상 날 불안하게 만들고 찝찝하게 만드는 개수세기 문제... 몇개 나오셨나요 다들...!?
-
첫째항 몇 나옴??
-
x=2^n 이 보이면 금방 클리어합니다 많이 풀면 다 보여요
-
공통 14번<<선지보고 196/5로 찍었으면 갵우 ㅋㅋ 7
일단 나부터
-
시간 모자라서 현대시 ㄹㅇ거의다찍은적 첨인데 ㅅㅂ 하..
-
수학이레전드커리어로우인듯 보정백분위 80이하는안뜨겠지 근데국어는까봐야암ㄹㅇ..
-
아니 0
시험으로 충격 받는 거는 6평으로도 이미 족하다고 … 더프야…
-
공통22빼고 다품 근데 282930못품 운지
-
27번진짜미친놈들인가 미적도아니고통통이한테이런짓을 작수에서미적이가27번본마음이이런건가싶음
-
흠
-
편입 생각중이면 0
휴학 안하는쪽이 더 나을까?? 1학년이고 지거국 공대에서 인서울 공대 생각중
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/2020_foolsday/oribi/006.gif)
응꼴잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/014.png)
결론부 마음에 듭니다 ♡무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿