[미적 자작 문제] 무리수 e의 정의
사실 이 문제는 '무리수 e의 정의'라는 이름을 붙이는 순간 풀이 과정이 뻔하기 때문에... 숨기는 것이 맞다만 그래도 문제에 이름은 붙여야하니 ㅜ 달았습니다. 어떤 변수 a에 대해 a가 0에 한없이 가까워질 때 (1+a)^(1/a) 꼴이 수렴하는 값을 e로 정의한다는 점을 공부했죠? 이를 단순화해서 바라보면 어떤 극한식에서 밑이 1로 가고 지수가 무한대로 발산하면 e와 관련되었을 것이라는 생각을 해볼 수 있습니다.
여담이지만 [e^x-e^(-x)]/2는 쌍곡선함수 중 한 종류로 sinh(x)로 표기하기도 합니다. 추가로 cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2이며 [sinh(x)]'=cosh(x)와 [cosh(x)]'=sinh(x)가 성립하는 등 삼각함수와 유사한 성질을 나타낸다는 점에서 표기에 sin, cos이 들어간다고 알고 있습니다.
추가로 한국 고등학교 교육과정에서 다루는 6가지 삼각함수의 풀네임은 sine, cosine, tangent, cosecant, secant, cotangent입니다!
+문제 아이디어는 작년에 논술 준비하며 봤던 어떤 문제로부터 얻었습니다! 다시 말해 온전히 제가 떠올린 것은 아니에요
[해설]
lim x->0인 상황에 대해 식 변형만 해볼게요! 핵심은 무리수 e의 정의를 활용하는 것과 초월함수의 극한을 활용하는 것입니다. 우선 '어떻게 무리수 e의 정의를 떠올리냐?'라는 질문에는 '지수함수 꼴 함수식에서 밑이 1로 수렴하고 지수가 무한대로 발산하는 것은 무리수 e를 정의할 때 사용하는 극한식과 같은 꼴이기 때문'이라는 답을 드릴 수 있습니다. 따라서 무리수 e의 정의식 (1+x)^(1/x)를 활용하기 위해 밑을 1+f(x) 꼴로 바라보고 지수에 1/f(x)꼴을 잡는 쪽으로 식을 변형해볼게요!
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)+2]/2]^[1/sin(2x)]
=[1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]*[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)]]
이제 e로 수렴하는 꼴이 나왔으니 지수식을 정리해주면 되는데 삼각함수와 지수함수가 있으므로 sin(x)/x와 (e^x-1)/x 꼴을 띄울 생각을 해볼 수 있습니다, 우리는 초월함수의 극한을 학습한 상태니까요! (함수의 극한에서 lim를 분배할 때 핵심이 내가 아는 극한으로 극한식을 구성하듯 나타내는 것이죠? 수렴하는 걸 알아야 lim를 극한의 성질에 따라 분배할 수 있으니까요!) 따라서 지수의 식을 변형해봅시다.
[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]/sin(2x)
=[x^2+9sin(2x)/x+[(e^x-1)/x-[e^(-x)-1]/x]/2]/[sin(2x)/x]
=[x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)]
이제 무리수 e의 정의와 초월함수의 극한을 활용하면 [1+x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2]^[1/[x^3+9sin(2x)+[e^x+e^(-x)]/2] 부분은 e로 수렴하고 [x^2+18sin(2x)/(2x)+[(e^x-1)/x+[e^(-x)-1]/(-x)]/2]/[2sin(2x)/(2x)] 부분은 19/2로 수렴함을 알 수 있습니다.
따라서 극한값은 e^(19/2), 답은 e^(19/2)
타이핑 했더니 문자들이랑 괄호가 좀 복잡해보이긴 하는데 '무리수 e의 정의'와 '초월함수의 극한'이라는 아이디어만 잡으면 다들 어렵지 않게 값을 구해내실 수 있을 겁니다. 초월함수의 극한 연습하기 좋은 문제라고 생각해요, 물론 식 자체가 복잡해서 수능에는 나오기 힘든 모양이라 생각하고 나와도 논술에 나올 만하지 않나 싶네요 ㅋㅋㅋ
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그것은 고수1 고수2해서 해요 쌍곡함수는
고급수학 2도 있나요? 그건 몰랐네요 ㅋㅋㅋ
재미있네요! ^^ 혹시 답은 e^10 인가요? ~~
저는 e^(19/2)가 나왔던 것 같은데,, 다시 확인해보겠습니다!
끄악 죄송해요! 2분의 를 계산하는 걸 깜빡했어요! ㅠㅠ
앗 그럼 옳은 풀이 같네요 ㅋㅋㅋㅋ
다른분들도 풀어보실 수 있게 최대한 숨겨서 여쭤볼게용...
(e) ^ (0 + 9 + 1/2 - (-1/2))로 푸는 것 맞는지요?
네, 그 방식 맞습니다! e의 정의를 활용하기 위해 지수에 어떤 작업을 해주어야 하는지, 미적분에서 다루는 '초월함수의 극한'을 다루기 위해 지수에 만들어질 분수식의 분모 분자에 어떤 작업을 해주어야 하는지를 알아내어 적용하는 것이 출제 의도였습니다
좋은 문제 주셔서 감사합니다 선생님! ^_^
풀어주셔서 감사합니다!
그냥 로피탈 하니까 e^19/2나오긴하는데..대학가서 미분적분학 배웠더니 e정의를 까먹었어요...
e = lim x->0 (1+x)^(1/x)
= lim f(x)->0 [1+f(x)]^[1/f(x)]
아하 식변형 좀 하면 나오긴 하겠네요
교과서적 풀이가 중요한 문제라고 생각해서 오늘이나 내일 중 해설 남겨두겠습니다!