머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ

문제 원본 및 풀이: https://youtu.be/C8M_ErBgCV8

오늘은 재밌는 정수론을 해볼 거에요. 문제는 간단합니다.

문제: 자연수 a,b에 대해, (5+3/a)(b+1/2)=19를 만족하는 순서쌍 (a,b)를 모두 구하여라.

풀이) 해당 식을 변형하여 (5a+3)(2b+1)=38a로 볼 수 있다.

2b+1이 홀수이므로 5a+3이 짝수이어야 하므로 a=2m-1(m은 자연수)임을 알 수 있다. 이를 대입하면,

(5m-1)(2b+1)=19a=19(2m-1)에서, 우변은 홀수이므로 

(5m-1)도 홀수이므로 m=2n(n은 자연수)임을 알 수 있다.

(10n-1)(2b+1)=19(4n-1)에서, (10n-1)과 (4n-1)이 배수 관계일 수 있으므로 10n-1=q(4n-1)이라 하자.(단, q는 자연수)

q-1=2n(2q-5)이므로 q=2p-1(p는 자연수)꼴임을 알 수 있고,

2(p-1)=2n(4p-7)이므로 n=(p-1)/(4p-7)이므로 p>=2에서 성립함을 알 수 있다. 

p>=2인 자연수 p에 대해,

(p-1)/(4p-7)=1/4+3/4(4p-7)이 감소함은 자명하므로 

p=2에서 n=1이므로 p>=3에서 자연수 n이 존재하지 않음을 알 수 있다.

p=2에서 q=3이므로 3(2b+1)=19에서, b는 자연수라는 조건에 모순이다. 즉, 서로 배수 관계일 때 성립하지 않는다. 

그럼, 10n-1=4n-1 또는 19일 때 성립하므로 n이 자연수 조건 하에 n=2만이 성립한다. 이 때 b=3, a=7이므로 이를 만족하는 자연수 순서쌍 (a,b)는 (7,3)으로 유일하다.

여기서 문제를 살짝 더 확장해보죠. 만약 a, b가 0이 아닌 정수이면 또 다른 근이 생길까요? 있습니다!

(5a+3)(2b+1)=38a에서, a<0인 정수일 경우 5a+3<0이므로 2b+1>0에서 b>0, a>0인 정수일 경우 같은 원리로 b>0이다.

위의 풀이와 같은 맥락으로 (10n-1)(2b+1)=19(4n-1)(단, n은정수)이고, n=0에서 b=9, a=-1이 성립하므로 이를 만족하는 정수 순서쌍은 (-1,9), (7,3)이다.

아마 제가 출제했다면 a+b가 최소가 되게 하는 정수 순서쌍 (a,b)를 구하라고 냈을 것 같네요.

어때요, 정수론 참 쉽죠?