(A+E)(A+2E)(A+3E) = O 일 때

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이차 정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여, (A+E)(A+2E)(A+3E) = O 일 때 (A+E)(A+2E) = O 또는 (A+2E)(A+3E) = O 또는 (A+3E)(A+E) = O이다.

참일까요, 거짓일까요?

참이라면 증명하고, 거짓이라면 반례를 들어 보세요.

풀이는 시간이 지난 다음에 올려 보겠습니다.

추가. 그러면 (A+E)^2 (A-E) = O이면 (A+E)(A-E) = O or (A+E)^2 = O일까요?

마지막으로, 간단하지만 (A+E)^3 = O이면 (A+E)^2 = O일까요?

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asdjzsd · 415794 · 12/09/09 20:31 · MS 2012

참

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panorama · 412849 · 12/09/09 20:34

참
이차식 만족하는 행렬이 하나밖에 없어서 그런거 아닌감..

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나카렌 · 278738 · 12/09/09 21:46 · MS 2018

조금 자세히 적어 보실 수 있나요?

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오현석H · 410578 · 12/09/09 20:34 · MS 2012

잘 모르겠네요. 참일 거 같습니다. 셋 중 하나의 디터미넌트인가? 그게 0이여야 하므로 참이 될 거 같아요.. 아닌가요?

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나카렌 · 278738 · 12/09/09 21:46 · MS 2018

셋 중의 하나의 determinant가 0일 때 셋 중 적어도 하나가 O가 되는 이유가 무엇인가요?

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오현석H · 410578 · 12/09/09 23:03 · MS 2012

아 오개념이였네요. 감사합니다 이런 글 올려주셔서 ㅠㅠ
D(0)D(0)이 반드시 영행렬이 나오는 것이 아닌데....

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공부짱~~~ · 391750 · 12/09/09 21:06 · MS 2011

참 아님?
일단 셋다 역행렬 존재 안하는 경우 뒤의 세 결론 모두 성립하고
셋중하나만 역행렬 존재하면 적어도 셋중 하나는 성립하는거니까 해당되고
두개 역행렬 존재하고 하나가 0행렬이면 적어도 셋중 하나는 성립하고
셋다 역행렬 존재하는 경우는 있을수 없고

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나카렌 · 278738 · 12/09/09 21:45 · MS 2018

A+E, A+2E, A+3E 모두 역행렬이 존재하지 않을 때 결론이 성립하는 이유가 무엇인가요?

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공부짱~~~ · 391750 · 12/09/09 22:17 · MS 2011

A+aE, A+bE둘다 역행렬 존재안하면
두개 곱하면 0행렬이 된다는 명제를 본적이 있음

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수능은4개월 · 382485 · 12/09/09 22:31 · MS 2011

참. A+kE 꼴의 행렬중 역행렬이 존재하지 않는 행렬은 최대 2개까지 존재합니다. 성분으로 잡아서 ad-bc를 해보면 k에 관한 2차식이 나오므로...

따라서 곱해져있는 세개중 하나는 적어도 역행렬이 존재하고, 위에 주어진 식은 교환법칙이 성립하기 때문에 역행렬을 양변에 곱하면 오른쪽과 같은 결론이 됩니다.

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CrossOver · 13256 · 12/09/09 22:32 · MS 2017

참.
증명) (A+E)(A+2E)(A+3E) = O 일 때 (A+E)(A+2E) = O 또는 (A+2E)(A+3E) = O 또는 (A+3E)(A+E) = O이다.

일단 중간에 사용할 소증명부터

(A+E)(A+2E)(A+3E) = O 이면 (A+E) (A+2E) (A+3E) 셋중에 적어도 하나는 영행렬이 존재하지않습니다.

(소증명 귀류법: 셋다 역행렬이 존재한다면 E=0 이되어 모순 . 따라서 셋중에 적어도 하나는 영행렬이 존재하지않습니다.)

그럼 첫째 ,
역행렬이 존재하지 않는것이 셋중에 하나만 이라면 나머지 둘은 역행렬이 존재하므로

예를들어 (A+E)는 역행렬이 존재하지 않고 (A+2E)(A+3E) 는 역행렬이 존재한다면

역행렬을 각각 곱해주면 A+E = 0

조건에 만족

마찬가지로 하면 A+2E=0 일때와 A+3E=0 인경우도 나오므로 조건에 만족

두번째 역행렬이 존재하지 않는것이 셋중 둘이라면

예를 들어 (A+E) 와 (A+2E) 은 역행렬이 없고 (A+3E) 은 역행렬이 있다면

양변에 역행렬을 곱해서 (A+E)(A+2E) = O 조건에 만족

나머지 다른경우도 마찬가지 방법으로 만족

마지막 (A+E)(A+2E)(A+3E) 셋다 역행렬이 없다면???

하지만 이런경우는 존재하지 않습니다. 이것은 이차방정식의 이론으로 증명할수있는데

귀차니즘으로 생략 (이차방정식의 서로다른근은 최대 2개 까지만 가능하다는것으로 증명가능)

그러하면 어떤경우던지 항상 만족

증명끝

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CrossOver · 13256 · 12/09/09 22:34 · MS 2017

그리고 이 방법 말고도 다른방법이 있으나

고딩과정 에서 배운 내용으로 하는 증명중 가장 하찮?(하찮다기보단 단순하고 기본적인 내용)

은 내용으로만 증명을 해보았습니다.

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CrossOver · 13256 · 12/09/09 22:36 · MS 2017

박승동 선생님 께서 말씀 하시길 수학공부는 기본개념의 심화와 응용!
정말 기본개념에 충실한 학생들보면 어려운 문제도 결국 스스로 고민해서
학원에서 가르쳐주는 특별한 정리나 공식 , 고등수준 초월한 과정 없이도
결국 풀어내더군요. 항상 기본개념을 제대로이해하고 응용할 방법을 연구하는것이 가장 중요한것 같습니다.

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위급상황발생 · 384210 · 12/09/10 18:31

님좀짱!

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주황버섯 · 409289 · 12/09/10 00:02

참.

A+E가 역행렬이 존재하면 (A+2E)(A+3E)=0, A+3E가 역행렬이 존재하면 (A+E)(A+2E)=0,
A+E, A+3E 둘다 역행렬이 존재하지 않는다면 (A+E)(A+3E)=0 이지 않나요?

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주황버섯 · 409289 · 12/09/10 00:04

둘째 줄에서 저도 그 이차식 그건 스킵ㅋ 위에랑 같은 말이네여

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ghrjs2 · 411249 · 12/09/10 22:19 · MS 2012

무조건참이죠 세항의곱으로된영인자는 존재하지않으니깐요ㅎ 각각독립항이0행렬이거나 두인접한행렬 이영인자인경우 이게끝이니깐ㅋ

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태빵 · 386694 · 12/10/07 08:19 · MS 2011

참임. 이거 수학시간에 배웠는데. ㅋㅋㅋ증명까지

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