제가 제대로 이해하고 있는 건지 궁금합니다. -수학-
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1. f(x)가 감소함수가 되려면 f'(x)<0 이어야 한다.
그러나 고교과정에서 수능에 나올 수 있는 함수에 대해서는
f'(x)<= 0 으로 풀어도 된다.
왜냐하면 고교 과정내의 모든 함수(따로 정의 해놓지 않는 이상)는
f(x)가 감소하다가 일직선이 되었다가 다시 감소하는 경우는 없다(즉, f'(x)=0 주위에서 f'(x)<0 이고 f'(x)=0 인 점의 갯수는 유한하다.)
2. f(x)가 감소함수 이면 f'(x)<= 0 이다.
3. f'(x)<0 이면 감소함수이다. (등호가 들어가지 않는 이유는 상수함수 때문이다.)
제가 맞게 이해하고 있는 거죠?ㅠ
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다신 이런고민은 안하실꺼같네요
2번 미분가능하다는 조건이 있어야 합니다
1번 아예 틀립니다. 이건 명제부분 개념을 다시 잡으셔야 할 듯 하네요
1번 왜 틀렸나요? 가르쳐 주셔야... ㅜㅜ
(1) f(x)가 미분 가능하고 증가함수이면, f'(x) ≥ 0 입니다. 그리고 등호를 뺄 수 없는 반례들이 무수히 존재합니다. (예: f(x) = x³)
(2) 그리고 역으로, f(x)가 미분 가능하고 f'(x) ≥ 0 이며, f'(x) = 0 인 점이 유한하면 f(x)는 증가함수입니다.
(3) f(x)가 미분가능하지 않으면 당연히 (1)이나 (2)와 같은 이야기는 불가능합니다.
즉, 지금 마니털 님이 실수하고 있는 것은 어떤 것이 필요조건이고 어떤 것이 충분조건인지를 혼동하고 계시다는 것입니다.
우선1번 부터. 차근차근 생각해봅시다.
개념학습이 아직 덜 되신상태같은데 교과서의 미분의 활용부분에서는 감소함수의 정의를 임의의 실수 af(b) 이면 감소함수라고 정의하고 있습니다
그리고 f'(x)를 이용해서 증,감을 판별하는 방법을 설명하고 있죠. f'(x)를 이용해서 함수의 증감을 판별하는건 관찰하는 부분에서 미분가능한 함수라는 조건이 있어야 합니다
그러므로 미분을 이용한 판별은 감소함수의 정의를 이용한 판별의 충분조건이지 필요조건이 될 수는 없다는 말입니다 이게 이해가 안가시면 명제단원 제대로 이해하고 오셔야합니다
이 설명이 이해가 가면 2,3번도 이해가 가실겁니다.
그런데 수능에 나오는 함수는 모두 f'(x)로 풀어도 된다는건 어디서 나온 말인가요??? 기출문제같은것만 봐도 미분불가능한 함수가 즐비한데..
으음...충분조건인 것은 이해가 좀 됩니다.
문제가
실수 전체에서 정의된 함수 f(x) = ax^3 - 3x^2 + (a+2)x + d 가 감소함수가 되도록 하는 상수 a의 값의 범위를 구하여라. 단 (a=/0)
이것인데. 이문제를 풀때 제가
감소함수가 되야하니까 f'(x)<0 이어야 겠지? 라고 생각했어요.
그런데 해설에는 f'(x)<=0 이어야 한다고 되있길래 다항함수라서 그런거구나. 라고 생각했거든요.,,.ㅠㅠ 잘모르겠습니다.....ㅠㅠㅠ
일단 함수가 다항함수네요. 다항함수는 실수전체에서 연속+미분가능(이정도는 암기하셔야죠)이기때문에 미분으로 접근해봅시다.
f(x)가 감소함수가 되야하면 f'(x)가 실수전체에서 f'(x)<=0을 만족하면 됩니다.
어..책에서는 f'(x)<0이면 f(x)가 감소라던데.. 라고 생각하실수 있겠지만
f(x)가 감소함수이면 f'(x)<0 이란 명제는 f'(x)<0이면 f(x)가 감소라는 명제의 역입니다
한마디로 무조건 맞다고 할 수는 없다는 소리죠.(명제의 역 아시죠??)
문제는 f'(x)=0이 되는 경우도 생각해봐야한다는겁니다.
예를 들어 y=-x^3 의 그래프를 생각해보세요. f'(0)=0 이지만 이 함수는 실수전체에서 감소함수죠
그러므로 ‘f‘(x)=0이면서도 증감이 변하는 경우가 있다‘는 경우가 생기므로
등호가 붙는거죠
이해가시죠??