[직관적인 접근]와 [논리적 풀이]의 중요성 -문이과 공통
[직관적인 접근]의 중요성에 대하여 다루고자 합니다. 먼저 [교과서 지도서]에 있는 다음 내용들을 봅시다.
[교과서]에는 정제된 풀이만을 서술하고 있지만, 그것은 교과서라서 그렇고 실제로 수학 전공 서적을 공부해봤다면 책에는 당연히 정제된 풀이만을 서술할 수밖에 없음을 알 수 있을 것입니다.
대학교 수학 전공 서적의 일부분입니다.
그림도 하나도 없죠. 그래서 한줄 한줄 이해해나가기 너무어려우며, 잘가르치는 교수님의 경우 항상 그림과 함께 설명해주며 학생들을 이해시켜 나갑니다.
여튼 마찬가지로 말그대로 교과서라서 어쩔수 없이 정제된 풀이만 남겨 놓은 것이고 실제 그 이론을 만들때에는 수많은 직관적 이해가 뒤에 숨어 있었던 것이고요. 그렇기 때문에 가르칠 때에는 실제로 [교과서 지도서]에서 항상 '직관적인 이해'를 학생에게 먼저 시켜보라며 강조하고 있습니다. 제가 올려놓은 지도서 2가지 예시 외에도 엄청나게 많습니다. ㅎㅎ
즉, 공부하는 입장에서는 직관적인 이해를 시도해보는 것이 매우 매우 중요하며 그렇게 해야 진짜 수학실력이 늡니다.
직관과 논리는 매우 상보적인 관계이며 직관적인 이해 없이 결과론적인 논리적인 풀이만 주입해서는 안 됩니다.
논리적 풀이를 한 사람도 '대부분' 직관적인 풀이에서 시작하여 논리적으로 마무리 지은 것이며 '대부분'은 직관적 능력이 되어야 결국은 논리적인 풀이도 할 수 있게 됩니다.또 반대로 거기서 얻은 논리력을 적용하고 펼치면서 직관적인 이해력이 성장하기도 합니다. 무엇의 선후관계를 두는 것이 아니라 '상보적'이고 함께 공부해야한다는 것입니다.
(문과도 풀수있습니다.)
위의 문제를 반드시 먼저 풀어보고 글을 보도록 합시다.
그래프를 통해 [직관적 단서]를 먼저 얻어봅시다. 그래프를 그려 직관적인 단서를 얻으려는 시도는 중요합니다.
[직관적 단서] - 풀이라는게 아니고 추측에 불과함.
y=3, y=4 등까지 계속해서 그래프를 그려보면 an은 2(n-1)로 가까워지는 것을 그래프에서 직관적으로 알 수 있고,
an을 2(n-1)과 유사한 값으로 생각할 수 있습니다. 즉, an/n의 극한값은 2(n-1)/n의 극한값과 같아서 2라고 쉽게 추론할 수 있을 것입니다. 그냥 그럴 것 같다라고 예측했을 뿐, 논리적 풀이는 아니죠.
1. 실제 시험장에서는 스스로 '직관적 확신'이 있다면 저 상황에서 마무리 지어도 좋습니다.
2. 공부하는 학생이라면 '조금이라도 불확실'하다면 반드시 '논리적'으로 확인하는 연습을 해야합니다.
3. 본인이 직관이 라마누잔급이라도, 확신에 확신을 거듭하더라도, 수험생이라면 반드시'논리적 확인'을 해야합니다.
4. '직관적 이해'과정 없이 문제의 핵심 풀이법인 논리적 풀이만 배웠다면 지금이라도 그래프를 그려보고 스스로 직관적으로 이해하는 시도를 해야합니다. 앞으로 어떤 문제를 보더라도요. 그게 [교과서 지도서]에서도 말하는 '직관적으로 먼저 이해'해보는 것의 필요성입니다.
이제 논리적 풀이를 해볼까요? 논리적 풀이는 대부분은 직관적으로 먼저 접근했다는 가정하에 할 수 있는것입니다.
그래프에 의한 직관적 접근도 없이 갑자기 논리적으로 푸는 것은 거의 불가능에 가까우며, (그래프=직관이란 말은 아님 상황마다 다름) 논리적으로 푸는 사람도 처음 공부할때에는 그래프와 함께 직관적인 접근을 해봤을 확률이 매우 높습니다. 앞서도 말했지만, 반대로 논리적으로 먼저 풀어낸 사람이라도 그래프를 보고 직관적으로 이해해볼 필요가 있습니다. 직관적으로 상황을 이해볼려고 시도하는 과정 자체가 수학 실력에 도움이 되는 것이고요.
[논리적 풀이 1]
직관적 단서로 출발하여, an은 2(n-1)로 점점 가까워지는 것을 직관적으로 알 수 있는데 이 느낌을 확인하기 위해 직접 근을 찾아보자.
이처럼 [직관적 단서]에서 출발하여 [논리적 풀이]로 마무리를 지을 때 직관과 논리가 모두 향상되어 가장 '효율적'으로 수학실력을 향상시킬 수 있으며, 어느 한쪽만 강조하는 경우는 [논리적 풀이]를 모르거나 귀찮아서 생략했거나, 본인이 직관으로 접근했었던 사실을 까먹고 논리만 강조하는 경우가 대다수입니다.
조금만 더 나아가보면 [직관적 단서]에서 극한 값이 2라고 예상한 상태에서는 2n 외의 다른 항이 쓸모 없을 것이라는것을 예측한 것이고 그 상황에서 더욱 더 올바른 논리적 접근은 다음과 같습니다.
(올바른이란 표현은 조금 어폐가 있고, 면접에서 더 뽑힐 확률이 높은 학생정도라 표현하면 좋을 듯합니다.)
[논리적 풀이 2]
위와 같이 풀이를 [논리적]으로 서술할 수 있게 된 사람의 속내에는 그래프를 통한 직관적인 접근이 있었고 그러한 직관이 있었기에 논리적 풀이를 서술할 수 있게 되었던 것입니다. 이처럼 수학을 잘하기 위해서는 반드시 '직관'과 '논리'가 모두 필요하다는 것이 핵심입니다. 즉, 공부하는 사람 입장에서는 직관적으로 답이 보이더라도 반드시 논리적으로 서술하는 연습이 필요하고, 수학적으로 중요한 과정인 직관을 무시하고 논리적 풀이만 달달 외우고 있으면 안 된다는 것이구요.
그 과정에서 직관과 논리가 모두 향상되어 수학 실력이 늘고, 실제로 수능에서는 2014수능 29번과 같이 대부분의 수험생이 [직관적 단서]에서 답을 낼수밖에 없었던 문제도 종종 출제되곤 하기 때문에 반드시 어려운 문제에 대해선 [직관]에 대한 길을 열어두셔야 100점을 받을 확률을 극대화 있습니다.
실제 2014수능 직후 통계조사에서 '문제를 맞힌 학생 중' 직관적 단서의 풀이에서 그친 학생이
29번의 경우 90%이상, 30번의 경우 70% 이상이었습니다.
같은 논리로 2014수능 30번에서 그래프를 통해 접선을 그어보고 3개인 구간을 직관적으로 추론해보는 것은 매우 훌륭한 과정입니다. 이러한 직관적인 접근을 의도적으로 막게되면 '수학적 발전'을 아예 이룰 수 없거나 매우 더디게 됩니다. 물론 그 이후 접선의 방정식 y=f'(t)(x-t)+f(t)으로 논리적으로 해볼려고 해야 '직관'과 '논리'를 모두 잡은 확실한 공부라는 것이죠.
마지막으로 다음 문제도 그래프를 통해 [직관적 단서]로 출발하여 [교과서 개념]에 해당하는 '극값의 판정'으로 마무리 지어 보길 바랍니다. 이 문제도 마찬가지로 시험출제 당시에는 90%이상의 학생이 [직관적 단서]의 풀이에 그쳤던 문제입니다. (다시 말하지만 공부할 때 [직관적 단서]에서 끝내면 안 됩니다. 반드시 둘다 해야 합니다.) 이처럼 직관적 단서를 얻으려는 연습을 평소에 해야 수능에서 100점 받을 확률을 극대화 시킬 수 있습니다.
요약하면,
직관과 논리는 서로를 끌어당겨주는 상호보완적인 관계이며, 무엇하나가 반드시 우선시되는 것도 아니며 수학실력 향상에 둘 모두 중요하다는 것입니다. 둘 중 한가지라도 떼어놓고 별개로 생각하는 순간 수학 공부에 대한 효율은 떨어질 수밖에 없을 것입니다. 제가 예시를 든 문제는 모두 직관적 단서를 얻는 과정이 우선시되는 경우가 압도적으로 많은 문항이었고요.
[직관적 풀이] [논리적 풀이]로 싸울게 아니라, 원래 함께 가는 것이라는 거죠. 사실 떼놓고 싶어도 못떼는게 맞죠.
실제로 어려운 문제는 직관과 논리 사이를 오가며 두 능력이 모두 활용되는 경우가 많습니다.
이러한 기본적인 생각은 여러분들이 대학교에 가서 수학을 공부할 때에도 크게 도움이 될 것입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
英 노동당의 좌파 본색…세금 이어 대학 등록금까지 올려 1
내년부터 英 대학 등록금 1700만원으로 필립스 교육장관 “2017년 이후 첫...
-
걍 미친듯이 달리면서 불안함을 잊는거야
-
난이도 어떰? 시즌 1 1회 82점인데 국어 고인물들 1,2컷 예상좀 해주세요ㅜㅜ
-
예비고3 이고 겨울방학 국영수 생지 단과 추천좀 해주세요 10모 국어 높2 영어...
-
여름내 << 이거 부사인거 어떻게 바로 앎? '-내' 부파접인걸 알고있어야하나
-
이투스 11월 0
오늘 국어 보신분? 난이도 어땠나요
-
화작시간에는 시청각자료실로 텔레포트해서 전문 배우의 발표를 들으며 시험을 치고...
-
남은 디데이보다 6
남은 실모 개수가 더 많아요 살려줘
-
이감 점수 2
이감 파이널 쭉 푸는데 보통 70점초중반이면 못하는건가? 이감 70점인사람들...
-
미치겠네 혀 깨물고 뺨 때리고 허벅지 꼬집고 일어서서 찬물 마셔도 조금있으면 잠 온다..
-
본인 인생 제대로 이뤄낸게 없어서 수능 쳐서 높은 대학 갈거라는 마음만 다짐하고...
-
이감 상상 0
이감 6-8 6-9 상상 5-4 5-9 중에 하나 못 풀 것 같은데 어떤거 빼는게 좋을까요?
-
왜 편지 없냐...ㅜㅜ
-
.
-
심찬우쌤 김유정 만무방 다뤄주신 강의 아시는 분잇나여
-
여성에 7번 차이고 인형과 결혼…日남성 6년 후 깜짝 근황 5
여성에게 7번 차인 끝에 인형과 결혼한 일본 남성이 결혼 6주년을 앞둔 근황을...
-
십덕씩드릴게요
-
메카니카 0
지금 메카니카 기출편이랑 기존에 있던 메카니카 역학편이랑 같은 건가요?
-
삼수생 3
안녕하세요... 제목 그대로 04 삼수생 입니다 너무 심적으로 힘들어서 글이라도...
-
햄버거와 구분할수 없다.
-
오늘 일어나서 인스타켰는데 갑자기 로그아웃되더니 로그인이 안됨 설마했는데 역시...
-
사이트 진짜 왜이럼 공부를 할 수 있게는 해줘야할거아냐...
-
이번 미적27번 0
어떻게 나올거 같으세요? 작수만큼 나올까요?
-
컴공은 코딩을 하는 곳이고, 무조건 코딩을 잘해야한다? > x 컴공은 코딩을...
-
그래서 힘과가속도 저울재는것도 가끔찍음,,,,,,,
-
수학 질문 4
0<AB의 기울기<1/4인데 ㄴ. 0<AB의 기울기<=1/4이다 는 틀린 선지 아니죠?
-
100분 96(30번) 근데 30번만 20분정돈 봤는데 모르겟네요 원래는 해설...
-
올해 학교에서 정식으로 친 모고들 국수영 등급 조합 계속 바뀜.. 실력이 없으니...
-
13회 중 50점 3번 45점 2번 나머지 전부 47/48점.. 만점 진짜 너무너무...
-
아모르겠다 1
수탐잘보면 뭐 어떻게든 만회되겠지...
-
아이폰 17 이벤트 당첨되셨습니다. 진짜임. 빨리.
-
너무 스트레스 받아서 밤에 불냉면 2단계 먹음... 이제 불똥쌀 마음의 준비중..
-
광고 없어지니까 삶의질이 떡상함 멜론도 쓰던거 해지하고 유튜브 프리미엄으로 쓰는중
-
서울시립대 말고도 인천시립대라고 해서.... 그 시절에는 있었었지요
-
작두 목록 나왔나요?
-
사실 독서풀때 30분밖에 안남음ㅛ.....
-
이퀄 수학 0
풀어볼만한가요?
-
시대 단과 미적 0
시대 3대장 강김박 쌤들 미적 정규반 들으면 수1, 수2, 미적 다 하는거에요?...
-
상상 파이널 0
70후-80초가 대부분인데 수능에서 몇정도 뜰까요… 2만 떴으면
-
아이 ㅅ발 1
국어 또 나만 처망했네 레전드억제기진짜 항상 내 앞길을 가로막아 후기글 보면 죄다...
-
언매 선택자이고 낮1 높2 목표, 극마지노선은 3초 입니다 원래 풀이 순서는...
-
나중가서 개털릴까봐 급하게 십지선다사문이랑 현돌 다지선다 주문함 ㅋㅋ;;
-
반타작 해도 해설 들으면 깔끔하게 내가 틀린거라 할 말이 없어서 더 비참함
-
고3 올라오고 교육청 평가원 모의고사 항상 1이었는데 뭔 실모풀면 2,3등급 뜨니까 엄청불안해짐
-
90이다... 와..
-
10, 25 틀 96 독서 9:23(43분) (가),(나)지문이 상대적으로 쉬웠고...
-
화작 왤케 지랄맞아 화작에서 4개 나간 건 처음이네 ㅅㅂ ㅋㅋㅎㄹㅎㅋㄹㅋㅋ
-
강k로 간다
-
어렵지않나요..? 5회 문학3틀인데 서술상특징 문제만 다틀림 뭔가 턱턱걸리고 답도...
대장님 ㄷㄷㄷ
난만한님 정오표 1페이지에서
해설 24쪽 미적분2(미분법)
n =2 ,3 n = 2,3,4고치라는거 어딨는건가요 아무리 봐도없는데
21쪽 03번 해설의 밑에서 6번째줄인듯합니다
아 미적분2 지로삼에있는거였네요 감사합니다.
좋아요
직관적으로 해원님 턱은 미분 불가능한데 논리적으로도 그런 것 같습니다
ㅜㅜ
하지만 인석 리의 책과 함께라면...
선형대수와 군!?
EX04 문제는 어디 문제인가요? 문과도 풀 수 있을 거 같은데 저런 기출 본 기억이 없네요
보면 2014수능 변형이라 적혀있습니다!
결국 어느문제를 푼다면 직관적풀이도 해보고 논리적풀이도 해보는 과정에서 수학실력이 는다는 말이군요.
그 2개가 따로가는게 아니라 함께간다는 것이죠
풀이과정에서 직관과 논리를 오가며 서로 보완적이라는 것입니다.
두 능력 모두 필요하니 한쪽만을 고집하면 결국은 손해라는 말이기도 하구요.
직관을 발전시키는 방법도 있으려나요
직관이 떠올리지 않을땐 어떻게 해야하나 항상 공부할때 무섭습니다 ㅋㅋ
직관적 이해를 항상 시도하고 노력해야죠. 마찬가지로 논리적 풀이를 마무리 지으려고 항상 노력해야합니다. 두 시도가 모두 직관력을 향상시키는데 도움이 될 것입니다.
시도라..! 그렇군요
[교과서 지도서]에 있는 설명을 보면
'직관적으로 말하여 보게 한다'입니다.
이를 문제에 적용하면
'어떤 값으로 수렴할지 그래프를 통해 직관적으로 말하여 본다.'
정도겠죠. 하지만 그것은 느낌일 뿐이니 반드시 논리적 확인을 거쳐야 합니다.
직관이 폰 노이만급이 되려면 어떻게 하나요?
라마누잔 폰노이만 이런 사람급은 태어나지 않는 이상 불가능하다고 보는게 맞죠..... ㅋㅋㅋ
한완수에서 가장 내적 갈등 일으키는 말
"위의 문제를 반드시 먼저 풀어보고 글을 보도록 합시다."
ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ
작년 오완수구매자인데 2017 수능분석 자료 받을수잇나요?
결혼축하드려요 ^^*
? 난만한님 결혼하세요?
백번 공감합니다.
제가 운영했던 학원간판 밑에 '논리와 직관' 이라는 슬로건을 적어두었던 기억이 나네요. (아무도 관심이 없었지만...)
저 진짜이거 '직관' 이라는거 현우진쌤이
강조해주신 이후에 수학성적 계속상승중이에요 백번공감합니다
글읽다가 논리적풀이 직관적풀이하면 딱떠오른게 문제가 글 중간에있는
30번? 바로그접선문제였는데 소름돋아허요...
그 와중에 대수학이라니..! (고통)
이걸 다 푸는 사람들은 확실히 수능에선 고수에 준하는 부류인듯
3등급은 웁니다 쾅쾅코아
대수학도 좋지만...전 제 닉넴쪽 분야가 더..ㅎㅎ
루딘..